サーストンの表面での作業に関連する声明
単純な閉曲線がある場合 $\alpha$ そして $\beta$ 表面に $\Sigma_g$、交点数 $i(\alpha ,\beta)$ の最小カーディナリティとして定義されています $\alpha_1\cap\beta_1$ なので $\alpha_1$ そして $\beta_1$ すべての単純な閉曲線の同位体から $\alpha$ そして $\beta$、それぞれ。私達は言う$\alpha$ そして $\beta$ 次の場合に最小限に交差する $i(\alpha ,\beta) = |\alpha\cap\beta|\,$。
それを見る方法 $\alpha$ そして $\beta$ のペアがない場合、最小限に交差します $p,q\in\alpha\cap\beta$ アークが結合するように $p$ に $q$ に沿って $\alpha$ からの弧が続く $q$ 戻る $p$ に沿って $\beta$ でディスクをバインドします $\Sigma_g$？
多分証明のアイデアのスケッチ？
逆もまた真だと思います： " $\alpha$ そして $\beta$ のペアがない場合にのみ最小限に交差します $p,q\in\alpha\cap\beta$ アークが結合するように $p$ に $q$ に沿って $\alpha$ からの弧が続く $q$ 戻る $p$ に沿って $\beta$ でディスクをバインドします $\Sigma_g$。」
回答
これは「ビゴン基準」と呼ばれます。議論については、FarbとMargalitによる「クラスグループのマッピングに関する入門書」のセクション1.2.4（特に提案1.7）を参照してください。
グーグル検索「ビゴン基準」はまた、さまざまな参考文献や講義ノートを見つけます。たとえば、これがトップヒットです。
https://math.stackexchange.com/questions/1646340/proof-of-the-bigon-criterion