差別化 $x^x$ "直接"

Question

私は派生物が $x^x\log x+x^x$、しかし私は対数微分を使用してこれを取得しました。ログや指数を持ち込むことなく、これを「直接」取得することは可能ですか？

Answer 1

多変数微積分を使用した、どういうわけかより自然な素晴らしいトリックがあります。 $f(y, z) = y^z$ そして $g(x) = (x, x)$ 対角線マップの場合、 $x^x = f(g(x))$。今の差$f$ ある時点で $(y, z)$ です $(z y^{z-1}, y^z \log y)^T$ との差 $g$ ただ $(1,1)$、だから連鎖律によっての導関数 $x^x$ です $x x^{x-1} \cdot 1 + x^x \log x \cdot 1 = x^x(1+\log x)$。

Answer 2

私はあなたが意味することは、使用するのではなく、第一原理と区別していると思います$$y:=x^x\implies\ln y=x\ln x\implies y^\prime/y=(x\ln x)^\prime.$$あなたは評価する必要があります$$\begin{align}\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{x+h}-x^x}{h}&=x^x\lim_{h\to0}\frac{e^{h\ln x}(1+h/x)^x(1+h/x)^h-1}{h}\\&=x^x\lim_{h\to0}\frac{(1+h\ln x+o(h))(1+h+o(h))(1+O(h^2))-1}{h}\\&=x^x(\ln x+1).\end{align}$$

Answer 3

場合 $y$ そして $z$ の機能です $x$、次に関数の全導関数 $f(y,z)$ に関して $x$ 等しい $$ \frac d{dx} f(y,z) = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{dz}{dx}. \tag{*} $$ この多変数微積分の事実から、いくつかの1変数微積分微分法則を導き出すことができます。

• 取る $f(y,z) = yz$、 我々は持っています $\frac{\partial f}{\partial y} = z$ そして $\frac{\partial f}{\partial z} = y$、など（*）が積の法則になります $$ \frac d{dx}(yz) = z \frac{dy}{dx} + y \frac{dz}{dx}. $$
• 取る $f(y,z) = \frac yz$、 我々は持っています $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac1z$ そして $\frac{\partial f}{\partial z} = -\frac y{z^2}$、など（*）が商の法則になります $$ \frac d{dx}\bigg( \frac yz \bigg) = \frac1z \frac{dy}{dx} -\frac y{z^2} \frac{dz}{dx} = \frac{z \frac{dy}{dx} - y \frac{dz}{dx}}{z^2}. $$
• 最後に、取る $f(y,z) = y^z$、 我々は持っています $\frac{\partial f}{\partial y} = zy^{z-1}$ そして $\frac{\partial f}{\partial z} = y^z\log y$、など（*）は $$ \frac d{dx}(y^z) = zy^{z-1} \frac{dy}{dx} + y^z\log y \frac{dz}{dx}. $$ 特に、設定 $y=x$ そして $z=x$、 そのため $\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx}=1$、収量 $$ \frac d{dx}(y^z) = x\cdot x^{x-1} 1 + x^x\log x\cdot 1 = x^x(1+\log x). $$

全導関数のこの活用は、次のような式の導関数にも役立ちます。 $\int_a^x f(x,t)\,dt$、そしてこれらの非常に異なるルールがすべて「の機能の1つを除いてすべてのふりをする」という形をしている理由を説明するのに役立ちます $x$ は一定であり、一度に1つずつであり、これらすべてのふりをした導関数を合計して、実際の導関数を取得します。」

Answer 4

考えてみてください

$$f(x) = x^x$$

次に、

$$ f(x+h) = (x+h)^{x+h} = x^{x} x^h ( 1 + \frac{h}{x})^{x+h}$$

ここで、括弧内の右端の用語について考えてみましょう。

$$ ( 1 + \frac{h}{x})^{x+h} = 1+ (x+h) \frac{h}{x} + \frac{ (x+h)(x+h-1)}{2!} ( \frac{h}{x})^2...= 1+h+ O(h^2)$$

そして、

$$ x^{h} = e^{( h )\ln x} = 1 + h \ln x +O \left(h^2\right)$$

したがって、

$$ f(x+h) = x^x \left[ 1 + h \ln x +O \left(h^2\right) \right] \left[ 1+h+ O(h^2) \right] = x^x [1+h \left( 1+ \ln x \right) +O(h^2)] = x^x + hx^x (1+\ln x) +O(h^2) $$

微分は一次変分法であるという定義により、

$$ f'(x) = x^x (1+ \ln x)$$

参照