サブフィールドのより簡潔な定義

Aug 18 2020

SaundersMacLaneとGarrettBirkhoffによる教科書Algebraを読んでいます。この教科書では、サブフィールドは次のように定義されています。

フィールドのサブセット $F$ は、(ゼロ以外の要素の)乗法単位、減算、乗算、および逆数の演算で閉じられている場合にのみ、サブフィールドです。

私の質問:

  1. サブリングのこの定義から、すなわち

リングのサブリング $(\mathrm{R},+, *, 0,1)$ サブセットです $\mathrm{S}$$\mathrm{R}$ リング、つまりリングの構造を保持します $(\mathrm{S},+, *, 0,1)$$\mathrm{S} \subseteq \mathrm{R}$。同等に、それは両方のサブグループです$(\mathrm{R},+, 0)$ とのサブモノイド $(\mathrm{R}, *, 1)$

私は「同等に、それは両方のサブグループです $(\mathrm{R},+, 0)$ とのサブモノイド $(\mathrm{R}, *, 1)$" なので

サブセット $S$ のサブリングです $R$ 場合に限り $S$ の加法サブグループです $(R,+,0)$ そして $S \setminus \{0\}$ の乗法的サブモノイドです $(R \setminus \{0\},*,1)$

  1. 上記の定義に触発されました。私はサブフィールドのより簡潔な定義を思いついた、すなわち

サブセット $E$ フィールドの $(F,+, *, 0,1)$ サブフィールドは、次の場合に限ります $E$ の加法サブグループです $(F,+,0)$ そして $E \setminus \{0\}$ の乗法的部分群です $(F \setminus \{0\},*,1)$

私の理解が正しいかどうか確認していただけますか?手伝ってくれてどうもありがとう!

回答

4 Jori Aug 18 2020 at 18:42

少し修正:2番目の定式化(サブフィールド定義のバージョン)は正しいですが、サブリングに関する最初の定式化は一般的に正しくありません。 $(R\setminus\{0\},*,1)$ リングのように、それ自体がモノイドである必要はありません(つまり、乗算で閉じられます)。 $R$ ゼロ因子を持つことができますまたは $R\setminus\{0\}$ 空の可能性があります。

ことわざ $(R\setminus\{0\},*,1)$ モノイド(すなわち、のサブモノイド $(R,*,1)$)はすでに意味します $1\neq 0$ そして $R$ゼロ因子はありません。この場合(のみ)、$(S,*,1)$ のサブモノイドです $(R,*,1)$ iff $(S\setminus\{0\},*,1)$ のサブモノイドです $(R\setminus\{0\},*,1)$

2 Vincent Aug 18 2020 at 17:46

はい、どちらも正しいです。あなたはおそらくこれらすべての定義のパターンに気付くでしょう:フループのサブフループ$X$ サブセットです $Y$$X$ それはまだそれが継承する操作のフループです $X$