サブプレシーフのSheafification

Question

しましょう $\mathscr{F}$ 束のサブプレシーフになる $\mathscr{H}$。私が正しく理解していれば、この場合、束縛は特に単純な形をしています。それはによって定義された束です$$\widetilde{\mathscr{F}}(U)=\{s\in \mathscr{H}(U)\:|\:s\text{ locally lies in }\mathscr{F}\},$$ 私たちが言うところ $s\in \mathscr{H}(U)$ ローカルにあります $\mathscr{F}$ 開いたカバーがありますか $\{U_i\}$ の $U$ そのような $s|_{U_i}\in \mathscr{F}(U_i)$ すべてのための $i$。

これが確かに層であることは明らかですが、それが層の普遍的な特性をどのように満たすかはわかりません。

私はそれを次のように行うことを考えました：私はこの構造が関手であると本当に思います $\mathscr{F}$。それを仮定すると、射が与えられた$\mathscr{F}\to\mathscr{G}$ 誘導射が必要です $\widetilde{\mathscr{F}}\to\widetilde{\mathscr{G}}$ これは、に制限したときの元の射と一致します $\mathscr{F}$。場合$\mathscr{G}$ 束です、 $\widetilde{\mathscr{G}}=\mathscr{G}$したがって、これにより、目的の射が得られます。しかし、なぜこの構造が機能的であるのか私にはよくわかりません$\mathscr{F}$。

Answer 1

与えられた束 $\mathscr{G}$ と前層の射 $f:\mathscr{F}\to \mathscr{G}$、前層（したがって前層）の射を直接構築できます $\widetilde{f}:\widetilde{\mathscr{F}}\to \mathscr{G}$ それは拡張します $f$。与えられたセクション$s\in \widetilde{\mathscr{F}}(U)$、開いているカバーを選択します $\{U_i\}$ の $U$ そのような制限 $s\mid_{U_i}$ 寝転ぶ $\mathscr{F}$。その後、あなたは適用することができます$f$ これらの制限のそれぞれに、そしてそれらの画像を接着して取得します $\widetilde{f}(s)\in \mathscr{G}(U)$。これが明確に定義されていること、つまり開いたカバーから独立していること、そして実際にそれを確認することは難しくありません$\widetilde{f}$ のユニークな拡張です $f$。後者はそれを示しています$\widetilde{\mathscr{F}}$ 束縛です。

あなたが言及する機能性に関して、あなたの定義は束の選択を必要とするので $\mathscr{H}$、これをどのように理解するかはわかりません（もちろん、束縛は普遍性によって機能的であるという事実の後で知っています）。

Answer 2

私は仮定しています $\mathscr H$ 位相空間上のアーベル群の束です $X$。
以来$\mathscr H$ は束であり、束の普遍性によって、プレシーブの射 $\iota:\mathscr F\hookrightarrow\tilde {\mathscr F} $ を介して要因 $\mathscr F\xrightarrow{j}\mathscr F^{sh}\xrightarrow{\bar \iota }\tilde{\mathscr F}$。それを見るために$\bar \iota: \mathscr F^{sh}\rightarrow \tilde {\mathscr F}$は同型であり、茎のレベルでチェックするだけで十分です。
茎のレベルで、私たちが持っていることを観察してください$x\in X$、ベーススペース、構成 $$\mathscr F_x\xrightarrow{j_x}\mathscr F^{sh}_x\xrightarrow{\bar \iota_x }{\tilde{\mathscr F}}_x=\mathscr F_x $$それはアイデンティティです。また、$j_x$同型です。これは、束の構造そのものに由来します。したがって、$\bar \iota_x$ すべての同型です $x\in X$ それゆえ $\bar \iota $ 同型です。

注：の標準的な構造$\mathscr F^{sh}$ 検討することです $\mathscr F$ 茎の束のサブプレシーフとして $\mathscr H(U):=\{\prod_{x\in U}s_x: s_x\in \mathscr F_x \}$ そして見て $\tilde {\mathscr F}$ この束で。