最大円と最小円の相似の中心を示すには、T上の共通の接線にあります。

Question

$c_1$ を中心に $A$ 通過する $B$。

$BB′$ の直径は $c_1$。

$T$ セグメント内のランダムなポイント $BB′$。

$c_2$ を中心に $B′$ 通過する $T$。

$c_3$ を中心に $B$ 通過する $T$。

$c_4$ 外部接線 $c_2$ そして $c_3$ と内部的に接線 $c_1$

$F$ の中心です $c_4$ そして $H,I$ 接点です。

それは私には明らかです $Z = HI \cap AF$ の2番目の相似中心です $c_1$ そして $c_4$ そして私はそれがまたに垂直なその線にあることを証明したいと思います $AB$ 使って $T$。

おそらく知っておくべき重要な関連結果：これらの3つの円が外部の共通の接線を共有していることを示す

これは、soddyサークルに関する一般的な結果のようです

Answer 1

• 共通の接線を $T$ 会う $AF$ で $Y$ に垂直にします $AB$ 使って $F$ 会う $AB$ で $L$。

  
  次に、計算します$y=LT$ ピタゴラスの定理による： $$ B'F^2-B'L^2 = LF^2 =BF^2-BL^2$$ そう $$ (b+c)^2-(b-y)^2 = (2a+b+c)^2-(2a+b+y)^2$$ だから私たちは $$y= {ac\over a+b}$$ そう $${AY\over FY} = {AT\over LT} = {a\over y} = {a+b\over c}$$

• 一方、 $X$ にいる $HI\cap AF$。

  
  相似変換$H_1$ で $H$ と係数 ${b\over c}$ かかります $F$ に $B'$ と相似 $H_2$ で $G$ と係数 ${a+b\over b}$ かかります $B'$ に $A$、だから構成 $H_2\circ H_1$ かかります $F$ に $A$ にセンターがあります $FA\cap GH =X$。この組成物は係数を持っています$${a+b\over b}\cdot {b\over c} = {a+b\over c}$$ そう $X$ 分水界 $AF$ と同じ比率で $Y$ したがって $X=Y$ これで完了です。

Answer 2

Aquaの回答の議論は、次のように短縮できます。同じポイント名を使用しますが、ここでは$a,b,c$ を中心とする円の半径は $A,B',F$ それぞれ（これはの意味を変えます $a$）。しましょう$LT:TA$ あります $x$。

YiuのTriangleGeometry、pg 2で説明されているように、内部相似中心$X$ （別名内部相似の中心）2つの円の $O(R),I(r)$ セグメントを分割します $OI$ 比率で $R:r$。したがって、の内部相似点$F(c),A(a)$ 分水界 $FA$ 比率で $c:a$。

アクアの答えのようにピタゴラスの定理を使用すると、

$$ (b+c)^2-(b-x(a-b))^2=(2a=b+c)^2-(2a-b+x(a-b))^2 $$

解決する $x$（怠惰な場合はオンラインソルバーを使用）$x=\dfrac{c}{a}$。したがって、

$$ FY:YA = LT:TA = x = c:a, $$

そう $Y$ の内部相似中心です $c_1,c_4$。