「最後のエース」

Sep 13 2020

あなたは52枚のカードの完全にシャッフルされたデッキを持っています。デッキからカードを1枚選ぶたびに。引いたカードはデッキに戻され、52枚のカードすべてが再び完全にシャッフルされます。4つの異なるエースをすべて見るまで、この手順を続けます。4つの異なるエースをすべて見るまでにカードを引く必要がある回数の期待値と標準偏差はどれくらいですか？

明らかに問題は、同じエースを何度も引くことができるということです。そのため、その間に引くカードの数を数える必要があります。 $k-1$thの成功と $k$3番目の成功（つまり、たとえば、3番目と4番目のエースの間に描かれたカードはそれぞれ異なります）。しかし、エースが異なる必要があるという事実は、エースを引くとこのエースがデッキに戻されるという事実に関連して、3番目のエースを引くと「ゲーム」が最初から始まることを意味するので、試行回数を計算する必要があります（描かれたカード）最初の成功を収めるために必要です（つまり、4番目で最後のエースはまだ見られていません）。

だからもし $X_i=[$＃前に描かれたカード $i$エース$]$、私たちはそれを持っています $X_1,X_2,X_3,X_4\sim\operatorname{Geo}(p)$。

これを使用して問題を解決するにはどうすればよいですか？助けてくれてありがとう。

回答

Kyky Sep 13 2020 at 13:04

しましょう $X$ 取得する試行の数を示す確率変数を示します $4$エース。分割できます$X$ に $4$ これを呼び出す個別の確率変数 $X_1$ （最初のエースを引くための試行回数）、 $X_2$ （最初のエースを引いた後に2番目のエースを引くための試行回数）、 $X_3$ （2番目のエースを引いた後に3番目のエースを引くための試行回数）および $X_4$（3番目のエースを引いた後に4番目のエースを引くための試行回数）。変数の確率分布は幾何分布です。幾何分布の場合、$E[Y]=\frac1p$ そして $\text{Var}(Y)=\frac{1-p}{p^2}$。

トライアルで最初のエースを引くチャンスは $\frac4{52}=\frac1{13}$ そう $E[X_1]=13$ そして $\text{Var}(X_1)=156$。トライアルで3番目のエースを引くチャンスは$\frac3{52}$ そう $E[X_2]=\frac{52}3$ そして $\text{Var}(X_2)=\frac{2548}9$。トライアルで3番目のエースを引くチャンスは$\frac2{52}=\frac1{26}$ そう $E[X_3]=26$ そして $\text{Var}(X_3)=650$。トライアルで3番目のエースを引くチャンスは$\frac1{52}$ そう $E[X_3]=52$ そして $\text{Var}(X_4)=2652$。

なぜなら $X_1$、 $X_2$、 $X_3$ そして $X_4$ は独立しているため、期待値と分散を直接加算して、の期待値と分散を取得できます。 $X$。我々は持っています