三角形の中心の性質
$M$ 三角形の3つのチェヴァ線の交点です $ABC$。
$$AB_1 = x,\quad CA_1 = y,\quad BC_1= z.$$
Nagel点とGergonne点の両方について、次の方程式が真であることは簡単に証明できます。$$S = xyz / r,$$ どこ $S$ 三角形の面積です $ABC$ そして $r$ 内接円の半径です。
他のどの三角形の中心が同じ特性を持っている可能性があり、それらの幾何学的な場所は何ですか？
また、ポイントの場合はご注意ください $M$ 数式は次のようになります。 $S = 2xyz/R$、 どこ $R$外接円の半径です。置換$x = b/2$、 $y = a/2$、 $z = c/2$ クラシックに戻す $S = abc/4R$。おそらく、他の三角形の中心がいくつか存在する可能性があるため、この方程式は$S = 2xyz/R$それらにも当てはまります。これらの仮説のポイントは、の重心とどのような特定の関係があるのだろうか。$ABC$？
回答
これは上記のコメントの単なるコーダですが、コメントするには長すぎます。場合$M$ 重心座標を持っています $(\lambda,\mu,\nu)$ （必ずしも正で正規化されているとは限りません。 $\lambda+\mu+\nu=1$）、その後、両方の条件は次の形式の3次方程式になります $$ \frac{\lambda\mu\nu}{(\mu+\nu)(\nu+\lambda)(\lambda+\mu)} $$ は、三角形（の形状）に依存する定数であり、明示的に簡単に計算できます。
特定のセンター（センター機能付き）かどうかを確認するため $f$ 三角形の中心の百科事典から、 $f(a,b,c)+f(b,a,c)+f(c,a,b)=1$）、その場でこれをチェックするために、例えばMathematicaで小さなプログラムを書くのは簡単なはずです。
GeoGebraは、チェヴァ線の離れた交差点を許可した場合、X（7）X（8）X（506）X（507）などを検出しました。
PS：GeoGebraでバグが見つかりました。
すぐに修正されることを願っています。[編集：修正済み]