三角不等式をどのように示すか、そしてそのオープンボールはコンパクトな理想ですか？
指輪に $F_p[[X]]$ フィールド内の係数を持つ形式的級数の $p$ メトリックがある要素 $$d(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n,\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n X^n)=p^{-\min\{n|a_n\neq b_n\}}.$$ 私は2つの問題があります
三角不等式の表示に関する問題。私はそれがどのように見えるかを見ることができただけです$$ p^{-\min\{n|a_n\neq b_n\}}\leq p^{-\min\{n|a_n\neq c_n\}}+ p^{-\min\{n|c_n\neq b_n\}}.$$両側に対数を適用しようとしましたが、効果はありませんでした。また、私は権力との賢明な不平等を知りません。
このメトリックに関して、中心がにあるオープンボールを表示する際の問題 $0$ 正の半径はコンパクトで理想的です $F_p[[X]]$。私たちのボールは形になっています（$r>0$）。 $K_{0,r}=\{\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n:d(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n,0)\leq r\} =\{\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n:p^{-\min\{n|a_n\neq 0\}}\leq r\} $。
私の意見では、それを示す必要があります
a） $K_{0,r}$ 空ではなく、 $\alpha - \beta\in K_{0,r} \ \forall_{\alpha,\beta\in K_{0,r}}$、
b）もし $\gamma\in F_p[[X]], \ \alpha\in K_{0,r}$ その後 $\gamma \alpha \in K_{0,r}$、
b）もし $\gamma\in F_p[[X]], \ \alpha\in K_{0,r}$ その後 $ \alpha\gamma \in K_{0,r}$。
残念ながら、私はそれを証明する方法がわかりません。さらに、この理想がコンパクトであることを示す方法は何ですか。
回答
実際、これは超距離空間です：if$g,f,h\in F_p[[X]]$、その後 $d$強い三角形（または超距離）の不等式を満たします：
$$d(f,g)\le\max\{d(f,h),d(h,g)\}\,.\tag{1}$$
明確に $f(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n,g(X)=\sum_{n\ge 0}b_nX^n\in F_p[[X]]$ しましょう
$$\delta(f,g)=\min\{n\ge 0:a_n\ne b_n\}\,,$$
そのため $d(f,g)=p^{-\delta(f,g)}$。
しましょう $f(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n$、 $g(X)=\sum_{n\ge 0}b_nX^n$、および $h(X)=\sum_{n\ge 0}c_nX^n$。明らかに$(1)$ 保持する場合 $f=h$、 $h=g$、または $f=g$、したがって、 $f,g$、および $h$すべてが異なります。しましょう$k=\delta(f,h)$ そして $\ell=\delta(h,g)$、そして一般性を失うことなく、 $k\le\ell$。その後、$a_n=b_n=c_n$ それぞれについて $n<k$、 そう $\delta(f,g)\ge k$、 したがって
$$d(f,g)=p^{-\delta(f,g)}\le p^{-k}=\max\{p^{-k},p^{-\ell}\}=\max\{d(f,h),d(h,g)\}\,,$$
望んだ通りに。
で、この答え私はultrametricスペースで開いてボールも閉集合であることを証明しました。（そこにある表記は、OPがリンクされているPDFから取られており、少し奇妙です。$B(x,r^-)$ 単に半径の開いた球です $r$ を中心に $x$。）この回答では、原点を中心とするオープンボールが$\Bbb Q_p$コンパクトです。少しの作業で、ボールに適応できるはずです。$F_p[[X]]$。
残りの部分については、開いたボールが中央にあることに注意してください $0$ すべて次の形式になります。
$$B_k=\left\{\sum_{n\ge 0}a_nX^n\in F_p[[X]]:a_n=0\text{ for }n<k\right\}\,.$$
これを使用してそれを示すのは難しいことではありません $fg\in B_k$ いつでも $g\in B_k$：もし $g\in B_k$、それはの要因を持っています $X^k$、したがってそうします $fg$。追加で閉じていることを確認するのも簡単です。