正の整数の場合 $n\geq 2$ 除数付き $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$、 証明してください $d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k<n^2$
IMO 2002 P4 Let $n\geq 2$ 除数のある正の整数である $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$。証明してください$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ 常に未満です $n^2$、およびそれがの約数であるときを決定します $n^2$
私はこの質問を試みていますが、アイデアが不足しています。誰かが少しヒントや提案をすることができますか?私に解決策を与えずにお願いします。
の製品という事実を利用しようとしています $d_i$*$d_{i+1}$ の約数です $n^2$ (そしてそれらはすべて異なります)そしておそらく除数の合計の式を使用して、この特定の合計がより小さいかどうかを確認してみてください $n^2$
回答
ヒント1:どのくらいの大きさにできますか $d_{k-1}$ の関数として $n$?どうですか$d_{k-2}$?
ヒント2:しましょう $p$ の最小素因数である $n$。あなたは何について言うことができますか$d_{k-1}$ の面では $n,p$?の最大の(適切な)除数は何ですか$n^2$?
以来 $d$ の約数です $n$ 場合に限り $n/d$ つまり、 $$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k=\left(\frac{n^2}{d_1d_2}+\frac{n^2}{d_2d_3}+\cdots+\frac{n^2}{d_{k-1}d_k}\right)\leq n^2\sum_{j=1}^{k-1}\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)<\frac{n^2}{d_1}=n^2$$ $$\tag*{$\ left [\ text {since $\frac{1}{d_jd_{j+1}}\leq\left(\frac{d_{j+1}-d_j}{d_jd_{j+1}}\right)=\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)$}\正しい]$}$$
第二部については、 $n$ 複合的であり、 $p$ の最小素因数である $n$。次に、$$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k>d_{k-1}d_k=\frac{n^2}{p}$$ 今なら $N=d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ の約数です $n$ その後、私たちは持っている必要があります $\frac{n^2}{N}\mid n^2$。だが$p>\frac{n^2}{N}$ 以来の矛盾です $p$ の最小の素数除数です $n^2$。そう$N\mid n^2$ 場合に限り $n$ 素数です。