正の整数の逆数の合計の収束/発散に関する質問
最も一般的な既知の収束テストを調べたところ、そのようなテストが決定的でない場合があることがわかりました（たとえば、次の場合の比率テスト $r=1$、級数が条件収束しているときの比較判定など）なので、正の整数の逆数の合計を含む級数の可能な収束判定を考えていました。
このテストの背後にある理論的根拠は次のとおりです。どういうわけか、正の整数の特定のサブセットの密度は、それらの部分和によって評価および比較できます。たとえば、一連の$n$ 次のような正の整数 $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ のセットよりも密度が高い $n$ 次のような正の整数 $\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$。
正の整数の最もよく知られている一連の逆数を見てみると、それを正確に確認するのは簡単です。 $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ は、で始まる連続する正の整数の合計であるため、正の整数の最も密度の高いサブセットに対応する部分和です。 $1$。合計が既知であり、簡単に証明できます$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_{k}}$ およその割合で発散する $\ln(n)$。他の既知の発散シーケンス、素数の逆数の合計は、およその割合で発散します$\ln\ln(n)$、および連続する素数の部分和は約 $\sum_{k=1}^{n}p_k=\frac{1}{2}n^2\ln(n)$。ただし、すでに述べた部分和$\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ 三角数のセットに対応し、それがあります $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{b_{k}}=2$。
述べられている可能な収束テストは、いくつかの関数の存在に依存しています $F(n)$、として制限 $\frac{1}{2}n^2\ln(n)<F(n)<\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$、正の整数のすべての無限サブセットに対して $S=\left\{ a_{1},a_{2},...\right\}$ そのような $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=\infty$、それから私達はそれを断言することができます $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}<\infty$; で、もし$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=0$、それから私達はそれを断言することができます $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}=\infty$。
したがって、テストはシーケンスの分母の合計に基づいており、次の形式になります。
（可能）収束判定
正の整数の無限のサブセットが与えられた $S=\left\{ a_{1},a_{2},...\right\}$ そのような $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=\infty$、それから私達はそれを断言することができます $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}<\infty$; で、もし$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=0$、それから私達はそれを断言することができます $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}=\infty$
今の問題は：そのような機能の存在は可能ですか？ $F(n)$？ここで証明された事実と互換性がありますか？https://math.stackexchange.com/questions/452053/is-there-a-slowest-rate-of-divergence-of-a-series#:%7E:text=Talking%20about%20getting%20closer%20to,%22the%20slowest%20diverging%20series%22？
そのような関数が存在する可能性があり、それに等しい正の整数の部分和が存在しなければ互換性があると私は信じています。 $F(n)$。たとえば、仮説的に$F(n)=n^e$、収束/発散の速度が次のようになるような正の整数のセットは存在しません。 $0$。
1）の存在または非存在を証明する方法に関するコメント/推測 $F(n)$、および2）概算 $F(n)$ 歓迎されます！
回答
残念ながら、急成長している機能でさえ $F(n)$ 保証に失敗します $1/a_n\to 0$。たとえば、$a_{2k}=k!$ そして $a_{2k+1}=1$ それぞれの自然のために $k$。それが必要なときでも$\{a_n\}$ 減少しない場合、急速な成長は級数の収束を保証できない可能性があります $\sum_{i=1}^n \tfrac 1{a_i}$。たとえば、非常に急速に増加する関数ごとに$g:\Bbb N\to\Bbb N$ シーケンスをしましょう $\{a_n\}$ 数の連続したブロックで構成されます $g(k)$ と長さ $g(k)$。次にシーケンス$\{1/a_n\}$ 発散しますが、シーケンス $\{\sum_{i=1}^{n} a_i\}$ で大きなジャンプがあります $g(k+1)$ それぞれで $n(k)=1+\sum_{i=1}^k g(i)^2$。
一方、算術平均と調和平均の間の不等式は、 $$\sum_{i=1}^n \frac 1{a_i}\ge \frac{n^2}{\sum_{i=1}^n a_i},$$ したがって、この不等式の右辺に制限がない場合、級数 $\sum_{i=1}^n \tfrac 1{a_i}$ 発散します。