正の属フックス群

Aug 16 2020

しましょう $G$ で格子になる $SL(2,\mathbb{R})$。有限の部分群が存在することは常に真実ですか$F$ の $G$ 商の表面が $\mathbb{H}/F$正の属がありますか？いくつかの一般的な十分な仮定のセットの下で、ステートメントは正しいですか？参照を追加していただけますか？

回答

3 MoisheKohan Aug 17 2020 at 00:28

はい、これは本当ですが、これを証明することは参照を見つけるよりも簡単です。

有限生成されたすべての行列群（たとえば、 $PSL(2, {\mathbb R})$ねじれのないサブグループが含まれています。一般的な結果はSelbergによるものですが、の離散サブグループの場合$PSL(2, {\mathbb R})$ それは確かに以前に知られていました。
1を考慮すると、すべての表面がそのことを証明するだけで十分です。 $S$ 2次元球に同相写像 $n\ge 3$ パンクは有限の被覆を認めます $S'\to S$ そのような $S'$正の属を持っています。最初にそれを仮定します$n$奇妙です。サラウンドパンク$p_i$ 小さなループで $c_i$。私はこれらをの要素として考えます$H_1(S, {\mathbb Z}_2)$。さて、準同型を考えてみましょう$$ \alpha: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2$$ ここで、最初の矢印はHurewiczで、2番目の矢印は $[c_1], [c_2]$ に $1$ と残りの部分 $[c_i]$の $0$。2重カバーを取る$S_1\to S$ のカーネルに対応 $\alpha$。次に$S_1$ です $2+ 2(n-2)$-回パンクした球。したがって、問題は、パンクの数が偶数の球の場合に軽減されます。
しましょう $S$ あります $S^2$ と $n=2k\ge 4$パンク。（2）と同様に、準同型を定義します$$ \beta: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2 $$
2番目の矢印がすべてを送信する場所 $[c]_i$の非ゼロ要素への ${\mathbb Z}_2$。しましょう$S'\to S$ のカーネルに対応する2重カバーを示します $\beta$。次に$S'$ 持っている $2k$ パンクと属 $k-1>0$。（これは、サーフェスのトポロジの演習です。$S'\to S$コンパクトな表面の分岐した被覆への変換は、超楕円被覆マップと呼ばれます。）

編集します。1.参照が必要な場合、最適な結果は次のとおりです。

エドモンズ、アランL。; ユーイング、ジョンH。; Kulkarni、Ravi S.、フックス群のねじれのないサブグループと表面のテッセレーション、発明。数学。69、331-346（1982）。ZBL0498.20033。

それは次のように述べることができます： $F_1, F_2$ の格子です $G=PSL(2, {\mathbb R})$。次に$F_2$ に埋め込む $F_1$ （抽象グループとして）インデックス付き $k$リーマン・フルヴィッツ条件が満たされた場合に限ります。$$ \chi(F_2)/\chi(F_1)=k. $$
定義を解明すると、それは肯定的な属の質問に対する肯定的な答えを意味します。

それらの結果を適用するために、人はすべての格子が $G$ プレゼンテーションがあります $$ \langle a_1, b_1,...,a_p, b_p, c_1,...,c_r, d_1, ..., d_s| \prod_{i=1}^p [a_i, b_i] \prod_{j=1}^rc_i \prod_{k=1}^s d_k =1, c_1^{e_1}=...=c_s^{e_s}=1\rangle. $$このプレゼンテーションは、ポアンカレのフクシアン関数に関する論文で見つけることができます。彼が実際に証明を持っているかどうかはわかりませんが（これは私が読み込もうとしたポアンカレによって書かれたほとんどすべてに当てはまりますが、他の人は同意しないかもしれません）、彼は結果を証明するためのツール、つまり凸状の基本領域を持っていました。Dehnの論文には、より確かな証拠が見つかる可能性があります（私は試しませんでした）。格子の有限生成集合の存在について私が知っている最も初期の固体参照$\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ です

Siegel、Carl Ludwig、不連続グループに関するいくつかの意見、Ann。数学。（2）46、708-718（1945）。ZBL0061.04505。

当然のことながら、Siegelは基本ポリゴンを使用して結果を証明します。彼は、有限辺の基本ポリゴンの存在を証明し、その結果、商の面積に関してジェネレーターの数の明示的な上限を結論付けました。 ${\mathbb H}^2/\Gamma$。この有限性定理は、接続されたリー群の格子について、はるかに一般的に成り立ちますが、これは別の話です（これは、この、明らかに基本的な結果を誰が信用するかが不明確になるまで複雑な歴史もあります）。私がよくわからないことの1つは、次のとおりです。

接続されたリー群の格子の有限生成集合の存在は知られていますが、商の体積に関する生成器の数の明示的な上限への確固たる参照はわかりません（ねじれのない場合）。。

各格子の「フェンシェル予想」について $G=PSL(2, {\mathbb R})$有限指数のねじれのないサブグループが含まれています：話はやや奇妙です。推測が最初に述べられたとき、言うのは難しい/不可能です。ニールセンの論文に記載されています

J. Nielsen、Commutatorgruppen for det frie produkt af cykliske grupper、MatematiskTidsskrift。B（1948）、49-56ページ。

ニールセンの論文には、驚くべきことに、参考文献がまったく含まれていません。

しかし、ニールセンの論文が登場するまでに、フェンシェルの予想はすでに証明されていました。証拠は主に以下に含まれています：

Mal'tsev、AI、行列による無限群の忠実な表現について、Am。数学。Soc。、Transl。、II。Ser。45、1-18（1965）; マットからの翻訳。Sb。、N。Ser。8（50）、405-422（1940）。ZBL0158.02905。

さて、各格子 $\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ 有限生成であり、有限数のみが含まれています $\Gamma$-有限位数要素の共役類。（これは、少なくとも、基本多角形に関するシーゲルの定理に由来します。これは、私が言ったように、ポアンカレに知られている可能性があります。）マルチェフの定理は、$\Gamma$ は有限生成行列群であり、自明でないすべての有限集合に対して $\Gamma$-共役類 $C_1,...,C_k$、有限指数サブグループが存在します $\Gamma'< \Gamma$ から素 $C_1,...,C_k$。2つの結果を組み合わせることにより、$G=PSL(2, {\mathbb R})$ 有限指数のねじれのないサブグループが含まれています。

フェンシェルの予想の完全な解決策は、フォックスによって主張されました

Fox、Ralph H。、（F）-groupsに関するFenchelの予想について、Mat。Tidsskr。B 1952、61-65（1952）。ZBL0049.15404。

マルチェフの論文を明らかに知らなかった人。Foxのソリューションは部分的にエラーであることが判明し、エラー（ケースの1つ）は次のように修正されました。

チャウ、TC、フェンシェルの予想に関するフォックスの論文に関するメモ、Proc。午前数学。Soc。88、584-586（1983）。ZBL0497.20035。

その時（23年前）までに、セルバーグはさらに一般的な結果を次のように証明しました。

Selberg、Atle、高次元対称空間の不連続グループについて、Contrib。関数理論、Int。コロク。ボンベイ、1960年1月、147-164（1960）。ZBL0201.36603。

Selbergは、有限生成された各行列群に、有限指数のねじれのない部分群が含まれていることを証明しました。セルバーグもマルチェフの論文に気づいていなかったが、少なくとも彼はすでにそこにあった何かを再調査していなかった。有限生成行列群ということです$\Gamma$ 無限に多く持つことができます $\Gamma$-有限部分群の共役類。したがって、マルチェフの結果を単純に適用することはできません。

1 SamNead Aug 17 2020 at 14:52

Moishe Kohanの証明のステップ（1）に関するコメント。この問題（有限のインデックス、格子のねじれのないサブグループを見つけることの問題）$\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$）は「フェンシェル予想」と呼ばれていました。それはラルフH.フォックスによって解決されました。彼の論文を参照してください：