正および正の半確定行列

Aug 19 2020

しましょう $H_n$ である $(n+1)\times (n+1)$ 実対称行列、そして $D_0,D_1,\dots, D_n$ の主要な主要な未成年者になる $H_n$

私が知っていることは:

  1. 場合 $H_n$ 正定値(または正定値)の場合 $D_n> 0$ (または $D_n\geq 0$)。
  2. 場合 $D_k>0$ すべてのために $0\leq k\leq n$、その後 $H_n$正定値です(シルベスターの基準による)。

私が知りたいのは、 $H_n$ 正の半確定です、

$\quad$Q1。場合$D_n>0$、その後 $H_n$ 正定です。

$\quad$Q2。場合$H_n$ 正定値ではない場合 $D_n=0$

Q1の場合:誘導によって行われたと思います $n$。にとって$n=0$:もし $D_0>0$、その後 $H_0$2番目の点で正定値です。にとって$n=1$:もし $D_1>0$、 どうやってわかったの $D_0\neq 0$、2番目のポイントを再び使用できるように?

Q2の場合:私たちはそれを知っています $H_n$ 仮定により半確定正であるため、 $D_n\geq 0$最初のポイントで。しかしそれ以来$H_n$ 正の半確定ではありません、私たちは持つことができません $D_n>0$、 そう $D_n=0$。それですか?

回答

1 BenGrossmann Aug 21 2020 at 14:51

正の半定値行列は、それが可逆である(非ゼロの行列式を持つ)場合に限り、正則です。

これは通常、次の結果として解釈されます。対称行列は、固有値が実数である場合にのみ正定値であり、固有値が非負である場合にのみ正定値です。そこから、行列の行列式はその固有値の積であることに注意してください。

より直接的な証明については、(対称)正の半確定行列の場合に注意するだけで十分です。 $H$、 我々は持っています $x^THx = 0 \iff Hx = 0$。ではここで私のポスト、私はいくつかの異なる方法でこれを証明します。そこから、そのnullspace(AKAカーネル)が自明でない場合に限り、行列の行列式がゼロになることに注意してください。