正多面体の剛体運動の群の位数を見つける方法 $\mathbb{R}^3$？
以下は、Dummit and Foote's Algebraの演習として表示されます（セクション $1.2$ -二面体群）：
- しましょう $G$ の剛体運動のグループである $\mathbb{R}^3$四面体の。それを示す$|G| = 12$
- しましょう $G$ の剛体運動のグループである $\mathbb{R}^3$立方体の。それを示す$|G| = 24$
- しましょう $G$ の剛体運動のグループである $\mathbb{R}^3$八面体の。それを示す$|G| = 24$
- しましょう $G$ の剛体運動のグループである $\mathbb{R}^3$正十二面体の。それを示す$|G| = 60$
- しましょう $G$ の剛体運動のグループである $\mathbb{R}^3$二十面体の。それを示す$|G| = 60$
この回答から、剛体運動は方向を維持する等長写像である、つまり反射は許可されないことがわかりました。
したがって、四面体の場合、対称軸が頂点と反対側の面の図心を通過することを考えました。そのような軸は4つあります（それらを呼びましょう）$A,B,C,D$）。すべての軸に沿って、定義することができます$1_i, r_i, r_i^2$ 3回転として $r_i^3= 1$、単位元（$i=A,B,C,D$）。そのような軸は4つあるので、$|G| = 3\times 4 = 12$。これは問題ありませんか、それとも何かが足りませんか？私は少し心配しているという事実$1_A,1_B,1_C,1_D$ （それらはアイデンティティ変換であるため）すべて同じである可能性があり、私は過大評価していますか？
マイナーな質問（迂回）：異なる軸に対応するアイデンティティ変換は異なりますか、それとも同じですか？
キューブについては、次のことを行いました。
- 反対側の面のすべてのペアに対して、対称軸があります。がある$3$ そのようなペア、したがって $3$ そのような軸（たとえば $A,B,C,D$）。定義する各軸について$1,r_i,r_i^2,r_i^3$ と $r_i^4 = 1$ どこ $i=A,B,C,D$。
- 4つのボディ対角線があります（たとえば $E,F,G,H$）、および各対角線（対称軸）について定義します $1,r_j,r_j^2$ と $r_j^3= 1$ どこ $j=E,F,G,H$。
上記の計算を考慮して、 $|G| = 3\times 4 + 4\times 3 = 24$。
この方法を使用することは、より大きな固体に対して、今後困難になります。すべての対称軸を手作業で識別するのは簡単ではありません。さらに、この時点で私が詳細に学んだ唯一のグループは$D_{2n}$、「必要なグループ」などの解決策を与えないでください$G$ 既知のよく研究されたグループと同型です $X$、そして私たちは知っています $|X| = ?$ そう $|G| = ?$「」
要するに、すべての明確な剛体運動を数える良い方法があると思います。誰かがこれを手伝ってくれませんか？
ここでJamesHaの解決策に出くわしましたが、PDFに示されている解決策が、四面体や立方体の場合でも私のものとどのように同等であるかがわかりません。誰かが私が同等性を見るのを手伝ってくれて、他の正多面体をどのように進めるかを教えてくれたらいいのにと思います！どうもありがとう！
回答
既存の回答と追加のコメントにいくつかの詳細を追加するには：
orangeskidが言及しているように、2つのエッジ間の変換の数から対称群のサイズを推測できます。これをより明確に確認する方法は次のとおりです。
多面体上の有向エッジについて考えてみます。これは、頂点とその頂点から出ているエッジ（または同等に、端点の1つが区別されているエッジ）で構成されています。私たちが持っている場合$e$ エッジ、そして私たちは持っています $2e$これらの有向エッジの。正多面体を使用しているため、これらすべてを他の正多面体に持ち込むことができます（これは、正多面体のほとんどの定義から非常に簡単にわかりますが、かなり直感的である必要があります）。
しかし、1つの有向エッジがわかったら $(v_1,e_1)$ 別の有向エッジに移動します $(v_2,e_2)$、回転を完全に指定しました：移動したら $v_1$ に $v_2$、可能な回転を、物事が回転できる単一の軸に制限しました（現在は動かないポイントがあるため）、回転する方法の1つだけが移動します $e_1$ に $e_2$。
特に、これは、回転が単一の有向エッジをとる場所によって一意に指定されることを意味します。それぞれの$2e$ 可能性はユニークな回転を与えます、 $2e$ 可能な回転の合計。
（方向反転変換を許可する場合、2倍の数があります。有向エッジを別の方向に移動するすべての方法で、それについて反射することにより、その有向エッジを修正する2番目の変換を取得します。）
軸を固定する恒等変換に関しては、これらはすべて同じ恒等変換です。形状は変更されません。
考えられる正多面体ごとに可能な（方向を維持する）回転のタイプをより明確に説明するには、次のようにします。
すべての正多面体について、可能な回転は、頂点の周りの自明でない回転、 $180^\circ$ エッジを中心とした回転、面を中心とした自明でない回転、または恒等変換。
四面体の場合、面は反対の頂点であるため、 $4\cdot (3-1)$ 重要な頂点/面の回転、 $1$ アイデンティティ、そして $3$ エッジフリップ（$6$ エッジ、ただしフリップごとに2つ使用）、合計 $12$。
キューブには、 $8\cdot (3-1)/2$ 頂点の回転、 $6\cdot(4-1)/2$ 顔の回転、 $12/2$ エッジフリップ、および $1$ アイデンティティ、合計 $24$。
八面体には、 $6\cdot(4-1)/2$ 頂点の回転、 $8\cdot (3-1)/2$ 顔の回転、 $12/2$ エッジフリップ、および $1$ アイデンティティ、合計 $24$。
十二面体には、 $20\cdot(3-1)/2$ 頂点の回転、 $12\cdot(5-1)/2$ 顔の回転、 $30/2$ エッジフリップ、および $1$ アイデンティティ、合計 $60$。
二十面体には、 $12\cdot(5-1)/2$ 頂点の回転、 $20\cdot(3-1)/2$ 顔の回転、 $30/2$ エッジフリップ、および $1$ アイデンティティ、合計 $60$。
段ボールから4つの等しい正三角形を切り取り、それらを一緒にテーピングして四面体を作成することに代わるものはありません。これが完了したら、指先をエッジの中央に置き、別の指先を反対側のエッジの中央に置きます。次に、指先を結ぶ軸を中心に四面体を回転させます。あなたはそれを見つける必要があります$180^\circ$回転により、四面体が元に戻ります。私の経験では、これを物理的に行うまで視覚化するのは困難です。
反対側のエッジのそのようなペアが3つあり、したがって3つのそのようなペアがあります $180^\circ$回転。これらは、アイデンティティと8つのローテーションとともに$\pm120^\circ$ 面の図心を反対側の頂点に結合するさまざまな軸について、四面体のすべての回転対称性を説明します。
他の正多面体も同様です $180^\circ$回転。ただし、カウントが必要な場合は、もっと簡単なことを行うことができます。ソリッドの片方の面を固定方向（たとえば、片方のエッジを水平）に向けて開始します。それが$m$-両面、あります $m$ 水平になり得るエッジ、およびこれら $m$向きはすべて、顔の中心を中心に回転させることで相互に取得できます。今、固体が持っている場合$f$ 顔、いずれか $f$回転によって「あなたに面している」位置に持っていくことができます。だからあるべきです$mf$回転対称性。これはすべてを説明します。
orangeskidの答えは似ていますが、これよりもさらに単純です。水平方向に向けて、あなたに面したエッジから始めます。このエッジを含む水平面を、そのエッジに沿って交わる2つの面の間の二面角を二等分するようにします。（言い換えると、あなたの視点からは、あなたから離れて傾斜しているこれらの2つの面は等しく見えます。）これで、$180^\circ$上で説明した回転ですが、回転によってソリッドの他のエッジを「手前」の位置にすることもできます。だからあります$2e$ 対称性。
多面体の場合 $3$ あなたがそのエッジを示すことができるスペース $a$ 別の端に連れて行くことができます $b$ 沿って $2$ ソリッドの方向を保持する変換（1つ取得すると、回転することもできます） $b$）。すべての変換を考慮すると、$4$ そのようなtransformations.transformations。
したがって、 $|G_{+}(S)| = 2 e$、 $|G(S)|= 4 e$、 どこ $e$ のエッジの数です $S$。