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しましょう $k$ フィールドになり、 $X$ 完全な多様体である $k$、 $V$ のオープンな部分多様体である $X$、 $Y$ 上の計画である $k$。仮定します$L$ 上の直線束です $V\times Y$。場合$L|_{V\times\lbrace y\rbrace}$ 上の直線束に拡張します $X\times\lbrace y\rbrace$ すべての閉じた点に対して $y$ の $Y$、直線束を行いますか $L$ にまで及びます $X\times Y$？
より強い条件が想定された場合、つまり任意のファンクターの場合はどうなりますか $\phi\colon\operatorname{Pic}(V\times Y) \to \operatorname{Pic}(V)$ （ここに $\operatorname{Pic}$ ピカード関手を示します）、直線束 $\phi(L)$ オン $V$ に拡張 $X$。しますか$L$ に拡張 $X\times Y$？
編集： $X$ 滑らかである、つまり滑らかで完全な多様体であると想定されます。
回答
新しい寄稿者を歓迎します。これは真実ではありません$X$スムーズです。一例はの役割を並べ替えます$X$ そして $Y$ 前の例では。
しましょう $X$ 属の滑らかで幾何学的に接続された射影曲線である $g>0$。しましょう$f:X\to Y$ 単一の節点を持つ節点曲線の正規化である $p$ あれは $k$-合理的なポイント。例えば、$Y$ 節点平面四次である可能性があり、 $X$ 正規化である可能性があります（属 $3$曲線）。のプリイメージが$\{p\}$ に $X$ 分割されます、すなわち、 $\{r',r''\}$ ために $k$-有理点 $r',r''$ の $X$。
しましょう $V$ のオープンな補完である $\{r',r''\}$ に $X$。の制限のグラフ準同型を示します$f$ に $V$ 次のように、 $$\Gamma:V\to V\times Y.$$ このグラフ準同型の画像は、 $V\times Y$。で示す$L$ 可逆層 $V\times Y$ このカルティエ因子に関連付けられています。
このカルティエ除算器の引き戻し $V\times X$ 上のカルティエ因子に拡張します $X\times X$。そのような拡張子はすべて次の形式です$$D_{c',c''} = \underline{\Delta} + \text{pr}_1^*\left(c' \underline{r'} + c''\underline{r''}\right).$$
これらの拡張カルティエ除数のそれぞれについて、 $X\times \{r'\}$ オーバー $X\times \{r''\}$合理的に同等ではありません。確かに、もしそうなら、$\underline{r'}$ そして $\underline{r''}$ 合理的に同等であるため、属 $g$ 等しい $0$。（これが、正の属の滑らかな曲線を扱う私の理由でした。）$X\times X$は滑らかで、カルティエ除数の有理同値類の群からピカード群への準同型は同型です。したがって、すべての可逆層は$X\times X$ のプルバックを拡張します $L$ に非同型の制限があります $X\times\{r'\}$ オーバー $X\times\{r''\}$。したがって、それぞれの拡張可逆層は$X\times X$可逆層の引き戻しと同型ではありません$X\times Y$。
編集します。上記の例では、すべてのザリスキカバーについて$Y'\to Y$、同じ結果が成り立ちます。ただし、エタールカバーがあります$Y'\to Y$ 可逆層が $X\times Y'$。エタール射撃後もそのような延長がない例としては、$X\to Y$節点曲線の正規化であり、尖頭曲線の正規化であるとします。次に、同じ構造で可逆層が得られます$L$ オン $V\times Y$ すべてのエタールカバーのために $Y'\to Y$、可逆層の拡張はありません $X\times Y'$。