整域と体の間の射は単射ですか？

Question

線形代数のメモで次のステートメントを読みました。Aを整域、Kをフィールドとします。ゼロ以外の環準同型$\phi : A \to K$ 単射です。

モルフィズムを考慮すると、このステートメントは誤りだと思います $$\phi : \mathbb Z \to \mathbb Z /2 \mathbb Z$$ $$n \to [n]$$ これは、整域と場の間の射ですが、明らかに単射ではありません。

それで、ステートメントは間違っていますか？私は反例をかなり確信していますが、先生のメモに同意しないたびに、私は間違っていました。

Answer 1

あなたは正しいです。ステートメントがどうあるべきかについて、2つの可能性があります。

1. からの射 $K \to A$ 単射です（カーネルは $K$ そして唯一の理想は $(0)$ そして $(1) = K$）。それはそれほど重要ではありません$A$ それを知る以外に、ここでは整域です $A \neq 0$。場合$A$ だった $0$ その後 $K \to 0$ 非単射です。

2. 地図 $A \to \operatorname{Frac}(A)$ 単射です。