生成系列を使用したパーティション間の同等性
生成系列を使用して、の順序付けられていない構成またはパーティションの数が $n$ 奇数部分のみを繰り返すことができるのは、のパーティションの数です。 $n$ これ以上繰り返すことのできない部分 $3$ 回。
の構成の数 $n$ です $2^{n-1}$、リストすることで見つけることができます $n$ $1$と配置 $+$ または $,$それらの間の; そのような配置のセットとの構成のセットの間には全単射があります$n$。の場合$n=3,$ 奇数部分のみを繰り返すことができるパーティションは $(1,1,1),(2,1),(3)$、これは、どの部分も繰り返すことができないすべてのパーティションでもあります。 $3$回。にとって$n=5,$ 奇数部分のみを繰り返すことができるパーティションは $(1,1,1,1,1),(2,1,1,1),(2,3),(3,1,1),(4,1),(5)$ そして、どの部分も繰り返すことができないパーティション $3$ 時間は $(2,1,1,1),(2,3),(3,1,1),(4,1),(5),(2,2,1).$ の交差点という明らかな事実以外に、このパターンを見つけることができないようです $A_n := \{\text{set of partitions of $n$ where only the odd parts can be repeated}\}$ そして $B_n := \{\text{set of partitions of $n$ where no part can be repeated more than $3$ times}\}$ です $C_n := \{\text{set of partitions where only the odd parts can be repeated, but no more than $3$ times}\}$。また、ここで数を決定するのに漸化式が役立つかどうかもわかりません。
回答
偶数部分に1回だけ発生し、奇数部分に好きなだけ分割するための母関数は、\ begin {eqnarray *} \ prod_ {i = 1} ^ {\ infty} \ frac {1 + x ^ {2i}} {です。 1-x ^ {2i-1}}。\ end {eqnarray *}パーツが最大で3回発生するパーティションの母関数は\ begin {eqnarray *} \ prod_ {i = 1} ^ {\ infty}(1 + x ^ i + x ^ {2i} + x ^ {3i})= \ prod_ {i = 1} ^ {\ infty}(1 + x ^ i)(1 + x ^ {2i})。\ end {eqnarray *}これらの同等性を確認するには、\ begin {eqnarray *} \ frac {1} {1-x ^ {2i-1}} = \ prod_ {j = 0} ^ {\ infty}であることに注意してください。 (1 + x ^ {(2i-1)2 ^ {j}})\ end {eqnarray *}であり、すべての数値は次のように一意に表すことができます。$ (2i-1)2^{j}$。
最後の等式を示すためのヒント... \ begin {eqnarray *} \ frac {1} {1-y} = 1 + y + y ^ 2 + y ^ 3+ \ cdots =(1 + y)(1 + y ^ 2)(1 + y ^ 4)\ cdots \ end {eqnarray *}または誘導を使用します。