整数多項式の離散性
今日、私は整数係数を持つ多項式が整数入力に整数値を与えるので、それらが変換することを非常に簡単に考えていました $\Bbb Z\to \Bbb Z$ （そして $\Bbb Q\to\Bbb Q$ 理論的根拠のために）。
さて、これは、通過する必要のある特定の量子化された格子点に固定されているため、多項式の形状を完全に制約します。幾何学的に少なくともそれは導関数を意味し、したがって、根などは、多項式がn導関数である必要があるという事実によって部分的に制約される可能性の有限集合にのみ属することができます（その$(n+1)-$3番目の導関数は $0$）同時に、整数の「格子」を通過する必要があります。
今、これはばかげているように見えるかもしれませんが、私はこの追加の制約が $\Bbb Z\to \Bbb Z$ マッピングは、特定の定理を強化するために使用できます。または、それがトートロジーの結果であり、したがって何も強化するために使用できない場合に使用できます。
この分野の特定のドメイン/定理への洞察やポインタをありがとう。
回答
これは漠然とした幅広い質問なので、漠然と広く解釈します。ここに多項式についてのいくつかの素晴らしい事実があります$f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ これは、より一般的な多項式には当てはまりません。これは、いくつかのものを証明するために使用できます。
事実1： $a - b \mid f(a) - f(b)$。
例えば、 $f(1) \equiv f(3) \bmod 2$などなど。これは簡単な観察ですが、整数多項式が取ることができる値に対する強力で有用な制約であり、特に、フィールドとは異なり、整数多項式に任意の整数値を有限集合でとらせることができないことを示しています。ポイント。これは、の値の素数除数のセットが次の事実をユークリッドスタイルで証明するために使用できます。$f$ 無限でなければなりません。これは、たとえば、素数のセットがに合同であることを証明するために使用できます。 $1 \bmod 4$ 取るによって、無限です $f(x) = x^2 + 1$。
事実2：もし$f(x)$ モニックであり、ゼロ以外の定数項がある場合、少なくとも絶対値の複素根が少なくとも1つあります。 $1$。したがって、あなたがそれを示すことができれば$f(x)$ そのようなルートが1つだけある場合、それは既約でなければなりません。
これは、ペロンの基準を証明するために使用できます。この引数の変形は、MathOverflowで使用され（ビヨルンプーネンが私が行った観測から外れたため）、多項式が証明されました。$x^n + p_1 x^{n-1} + \dots p_{n-1}$ 常に既約であり、 $p_i$素数です！同様の議論はまた、前の2つの混合のようなものであり、私が知っている名前を持たないこの還元不可能な基準を証明しています。
事実3：もし$f(x)$ モニックであり、定数項があります $\pm 1$ 次に、絶対値がより大きい複素根が少なくとも1つある $1$ および絶対値が $1$、またはそのすべての根は正確に絶対値を持っています $1$。
後者の場合、すべての根は実際には1の根でなければならないことがわかります（したがって$f$ のコピーの製品である必要があります $x$および円分多項式）; これはクロネッカーによるものであり、ここで証明を見つけることができます。これは、係数のサイズに特定の限界がある特定の次数の整数多項式が有限個あるという観測に決定的に依存しています。ここでこれと同じ観測を使用して、モニック多項式の最大ルートの絶対値（絶対値）に自明でない下限が存在することを示します。$f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ 定数項付き $\pm 1$。
一般に、整数の離散性を使用することは非常に一般的な証明手法であり、その一般性のレベルでそれらを検索することは困難ですが、多くの例があります。