制約のないアレイゲインの「よく知られた」ソリューションを導き出す方法は？
HenryCoxの1987年のIEEE論文「RobustAdaptiveBeamforming」で、ビームフォーマーの制約なしアレイゲイン式を分析的に解決する方法を示すWebページまたはその他のリソースを誰かに教えてもらえますか？
$$ \max_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$
コックスは言う：
よく知られている解決策は $\mathbf{w} = \alpha\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}$
これを自分で導き出す方法を学ぶことで、これをよりよく理解したいと思います。
回答
このような問題は、ラグランジュ乗数の方法を使用して解決できます。最初に、質問の式を最大化することは、逆関数を最小化することと同等であることに注意してください。
$$\min_{\mathbf{w}}\frac{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}}{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}\tag{1}$$
次に、のソリューションに注意してください $(1)$ のスケーリングに対して不変です $\mathbf{w}$、すなわち、交換 $\mathbf{w}$ 沿って $c\cdot\mathbf{w}$ に $(1)$ 任意のスカラー定数を使用 $c$関数の値は変更されません。したがって、次のようなスケーリングを使用することもできます。$\mathbf{w}^H\mathbf{d}=1$満足しています。このスケーリングは、目的の信号のユニティ応答に対応します。この制約で、問題$(1)$ 次のように再定式化できます
$$\min_{\mathbf{w}}\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}\qquad\textrm{s.t.}\qquad \mathbf{w}^H\mathbf{d}=1\tag{2}$$
解決できる $(2)$ 最小化によるラグランジュ乗数の方法を使用する
$$\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-\lambda(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-1)\tag{3}$$
の派生物を正式に取得する $(3)$ に関して $\mathbf{w}^H$ ゼロに設定すると
$$\mathbf{w}=\lambda\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}\tag{4}$$
の制約 $(2)$ 満足している
$$\lambda=\frac{1}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{5}$$
から $(4)$ そして $(5)$ ついに手に入る
$$\mathbf{w}=\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{6}$$
のスケーリングに注意してください $(6)$ はオプションであり、一般的な解決策は次の式で与えられます。 $(4)$。
まず、最大のSINRビームフォーマ問題の解決策のスケッチ $$ \text{max}_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$ 機能を書き留めることから始めます $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w} $$最小化する必要があり、一連の制約。実際、重みベクトルwとw Hは、これらの変数に関する導関数をとるときに、2つの独立した変数のセットと見なされます。したがって、出力信号エネルギーは、通常、重み信号の余積の2乗係数として記述され、平方根を取るノルムを計算せずに、分析関数として書き留める必要があります。$$ |\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2 = \mathbf{w}^H\mathbf{d}·\mathbf{d}^H\mathbf{w} $$ 結果として得られる線形制約のセットは次のとおりです。 $$ \mathbf{w}^H\mathbf{d} = c \\ \mathbf{d}^H\mathbf{w} = c^* $$ そして、2つのラグランジュ乗数λとμを使用してラグランジアンを書き留める必要があります。 $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-λ(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-c)-μ(\mathbf{d}^H\mathbf{w}-c^*) $$第一-ラグランジュの2つの誘導体をとるWに対して、第二のW H -私たちはの式得るλとμを、そして、制約式にこれらを代入し、最終的に到達します重みの式：$$ \mathbf{w}=c\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}} $$驚いたことに、OPの要求に従って「ビームフォーマーを分析的に解決する方法を示すWebページまたはその他のリソース」をWebで検索したところ、この式の導出の縮小された欠陥のあるバージョンしか見つかりませんでした。典型的なドキュメントはコースノートOptimalBeamformingです。他のすべての側面における主題への詳細で有用な紹介。私は、OPがこの学習リソースの省略をブロードキャストする目的で質問を投稿したのではないかとさえ疑っています（私の厄介な冗談の試みを許してください）。
今のところ、最適なビームフォーミングに関心のある学生には、一般的な線形制約二次計画法に関する学習資料のみをお勧めします。たとえば、refs。https://www.math.uh.edu/~rohop/fall_06/Chapter3.pdf そして https://www.cis.upenn.edu/~cis515/cis515-20-sl15.pdf。これらのドキュメントでは、実数値の2次形式のみが考慮されていますが、主な結果は複雑な領域に一般化できます。