積分の一様収束

Question

私はこれを初めて理解しようとしています。私はチェックする必要があります$\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx$均一に収束しているかどうか。私の推測では、次の場合は収束しません$\alpha \in ]0,\infty[$しかし、それが正しいことを証明したかどうか、またはそれを証明する方法は100％わかりません。だから私がしたことは：

一様収束すると仮定しましょう。次に、$p \in \mathbb{N}$ そのような $\forall \alpha \in]0,\infty[$ $$\left\lvert \int_{p}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx \right\lvert < something$$ 矛盾のために「何か」に何を入れるべきかわからない。

そしてこれが本当なら関数 $$f(\alpha)= \int_{p}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx \hspace{0.1cm} , \alpha \in ]0,\infty[$$有界です。そんなこと知ってる$\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha)$存在しません。これは矛盾ですか？なぜこれが$f$有界ですか？（もし$\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha) = \infty$ 疑いはありませんが、そうではありません。制限が存在しないため、正当化する方法がわかりません）。

私は自分の疑問がはっきりしていることを願っています。ありがとうございました！

Answer 1

積分は一様に収束します $\alpha \in [a,\infty)$ どこ $a > 0$ ワイエルシュトラスのMテストによるが、 $(0,\infty)$。

最初の積分については、 $\alpha_n = (2n\pi + \pi)^{-1} \in (0,\infty)$ 我々は持っています

$$\left|\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} e^{-\alpha_nx_n} \sin x \, dx\right|\geqslant e^{-(2n\pi+\pi) \alpha_n}\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} \sin x \, dx = 2 e^{-(2n\pi+\pi)\alpha_n}= 2e^{-1}$$

RHSはに収束しないので $0$ なので $n \to \infty$、一様収束のコーシー基準に違反しています。