積分の性質

Question

しましょう $T>0$修繕。しましょう$f,g : [0,T] \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ 微分可能関数 $c>1$、 $$f(x) \geq c, \; \forall \; x \in [0,T] .$$

そんなこと知ってる $f\cdot g$ また、統合可能です。

質問。それは本当ですか$$\int_{0}^T c \cdot g(x) \; dx \leq \int_{0}^T f(x) \cdot g(x) \; dx?$$

それを証明するために部分積分を適用することを考えましたが、何も結論付けられませんでした。

Answer 1

これは誤りです。 $f(x)=c+1$ そして $g(x)=-1$ 反例を示します。

しかし、私たちも持っている場合 $g(x) \geq 0$ その後 $f(x)g(x)-cg(x) \geq 0$ そう $\int_0^{T} [f(x)g(x)-cg(x)] \geq 0$ これは $\int_0^{T} f(x)g(x) \geq c \int_0^{T} f(x)dx$。