積分を示すために $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$ 収束し、以下になります $n^{3/2}\pi$ [複製]

Question

多項式を考えてみましょう $p \in \mathbb{R}[x]$ 程度の $n$そして本当のルーツはありません。証明してください$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$$収束し、以下 $n^{3/2}\pi$

私のアプローチ

さあ、 $x_1, x_2, \dots, x_n$ のルーツになる $p$。コーシー・シュワルツ

$$(\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{x-x_k}})^2\leq n\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{|x-x_k|^2}}$$

次に何をしたらいいのかわからない。私が間違っている場合は、回答セクションに詳細な回答を提供してください。私は自分が何を考えたか、何をしたかを示しました。

私の思考プロセスが正しいかどうか誰かが確認できますか？

ただのリマインダー...この質問は長い間答えられずに横たわっていました

ありがとうございました。

Answer 1

まず、次のことを定義できます。 $$p_n(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k\tag{1}$$ $$p_n'(x)=\sum_{k=0}^nka_kx^{k-1}$$

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今多項定理によって： $$\left(\sum_{i=1}^mx_i\right)^n=\sum_{\sum j_i=n}{n\choose{j_1,j_2...j_m}}\prod_{t=1}^mx_t^{j_t}$$ これから、次の式を思い付くことができるはずです。 $p_n^2$ そして $p_n'^2$。

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ここで、私たちが知っていることから（本当のルーツがないため）： $$p_n(x_0)=\sum_{k=0}^na_kx_0^k\ne0\,\,\,\,x_0\in\mathbb{R}$$ 私達はことを知っています： $$p_n(x)^2=O(x^{2n})$$ $$p_n'(x)^2=O(x^{2(n-1)})$$ したがって、次のことは明らかです。 $$\frac{p_n'(x)^2}{p_n(x)^2+p_n'(x)^2}=O\left(\frac1{x^2}\right)$$