赤道で傾斜した大円の弧長を計算する方法 $\phi°$ に侵入 $12$ 経度による弧 $30°$ 離れて？

Question

大円はにあります $\phi°$赤道への傾斜。経度$30°$ 赤道を分割する離れて描かれています $12$ サイズの等しい弧（地球の半径$*30$）。傾斜した大円上の対応する円弧の長さは可変です。すべてのなす角を計算する方法$12$ アーク？

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私が何とか理解したこと：

1. 図は次のとおりです。問題の説明

2. $\phi =$ 大円の最低点と最高点の緯度（記号を無視する、すなわち $+/-$）。

3. の両方の円の弧長 $90°$ なす角は円周の4分の1に等しい。

4. 球面三角法のHaversineルールとSineルールで解決しようとしましたが、プログラムすると、$12$ アークは地球の円周と等しくありません。

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動機：

円弧のなす角は、緯度と経度によって異なります。その計算は、私が構築しようとしている占星術ソフトウェアにとって非常に重要です。助けてくれてありがとう！

Answer 1

累積弧長を計算する方が良い場合があります。

しましょう $A$ 弧が赤道に当たる点になり、 $B$ あなたが移動する任意のポイントになります $A$。なぜなら$A$ 2つのポイントのいずれかである可能性があり、一般性を失うことなく、 $B$ によって置き換えられます $\le 180°$ 経度から$A$。したがって、経度変位を呼び出す$\theta$。

ドロー $\triangle ABP$ どこ $P$どちらかの極です。次に$\angle P$ 対策 $\theta$、アーク $AP$ 90°を測定し、 $\angle A$ 対策 $90°-\phi$。

三角形を解くとき、私は通常、正弦ではなく余弦を使用することを好みます。余弦関数は単調であり、からずっと明確な逆関数を与えます$0°$ に $180°$、一方、sine関数は、引数が渡されるとそれ自体が2倍になります。 $90°$。したがって、余弦定理に注目してください。ここのように2つの角度と含まれる辺がある場合、余弦定理の第2法則が最適に機能します。この三角形の場合、法則は3番目の角度に対して次のようになります。$\angle B$：

$\cos \angle B = -\cos \angle A\cos \angle P+\sin \angle A\sin \angle P\cos AP$

ここで、右側の2番目の項は次のようにゼロになります。 $AP$ 対策 $90°$。上記の既知の角度を差し込むと、レンダリングされます

$\cos \angle B = -\sin \phi\cos \theta$

次に、同じ法則をもう一度適用します。 $\angle P$ 左側：

$\cos \angle P = -\cos \angle A\cos \angle B+\sin \angle A\sin \angle B\cos AB$

既知の値をプラグインし、 $\sin u =+\sqrt{1-\cos^2 u}$ にとって $0\le u\le 180°$、 我々が得る

$\cos \theta = \sin^2 \phi\cos\theta+(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$

$\cos^2 \phi\cos\theta=(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$

弧長のこの式 $AB$：

$\color{blue}{\cos AB = \dfrac{\cos \phi\cos \theta}{\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta}}} (0°\le\theta\le 180°)$