射影加群の理想的なトレース

Question

1969年の論文「有限階数の射影加群について」で、ウォルマー・バスコンセロスは次のように書いています。

しましょう $M$ 射影する $R$-モジュール...のトレース $M$ 地図の画像として定義されています $M \otimes_R \operatorname{Hom}_R(M, R) \to R$、 $m \otimes f \to f(m)$; それはによって示されます$\tau_R(M)$。場合$M \oplus N = F$ （無料）、それは明らかです $\tau_R(M)$ の理想です $R$ のすべての要素の座標によって生成されます $M$、で選択された任意の基準 $F$。したがって、準同型については$R \to S$、 $\tau_S(M \otimes_R S) = \tau_R(M) S$。

同様の主張は、彼の1973年の論文「射影的理想における有限性」にも現れています。

射影加群の痕跡の概念を思い出します $E$ 可換環を越えて $A$。それは単に理想です$J(E) = J = \Sigma f(E)$ どこ $f$ 蹂躙 $\operatorname{Hom}_A(E, A)$。同等に、$J$ のすべての要素の「座標」によって生成される理想です $E$ 分解するたびに $E \oplus G = F$（無料）が与えられます。2番目の解釈では、次のようになります。$h \colon A \to B$ は環準同型であり、 $J(E \otimes_A B) = h(J(E)) B$。

最初の主張は、次のように（無料モジュールの変更はあるものの）簡単に確認できます。場合$F = M \oplus N$ 根拠があります $\{ v_i \}$、検討することができます $F' = F \oplus R$、 どこ $u$ のジェネレータです $R$。どんな場合でも$f \colon F \to R$、 $F'$ で構成される基礎を持っています $u$ そしてすべて $w_i := v_i - f(v_i)u$。この根拠に関して、$v_i = w_i + f(v_i) u$、 従って $u$-のコーディネート $v_i$ です $f(v_i)$。したがって、すべての準同型$M \to R$ 上の座標関数の制限です $F'$。

私にははっきりしないのは、2番目の主張の理由です $\tau_S(M \otimes_R S) = \tau_R(M) S$。インクルージョン$\tau_R(M) S \subset \tau_S(M \otimes_R S)$ 明らかなので、もう一方に焦点を当てましょう。

分解を選択できます $M \oplus N = F$ （無料）、 $M \otimes_R S \oplus N \otimes_R S = F \otimes_R S =: F_S$、無料です $S$。追加するまで$S$ 被加数、人はまた、 $f \colon M \otimes_R S \to S$ 上のいくつかの座標関数の制限です $F_S$。しかし、上の座標$F_S$基礎の選択に依存します。基礎がから得られる場合$R$-の基礎 $F$、主張は明らかです。だが$F_S$ の多くの選択肢を持つことができます $S$-から派生していないベース $R$。

些細なことを見逃していると思いますが、今は見えないので、ここでお願いしたいと思います。

Answer 1

コメントで特定されているように、混乱は言語学的です。

補題。 しましょう$M$ 射影する $R$-モジュール、そして仮定します $M \oplus N \cong F$ に基づいて無料です $\mathcal B$。ために$b \in \mathcal B$、 書く $\varepsilon_b \colon F \to R$ 'dual'要素を取るため $b$ に $1$ および他のすべての基本要素 $0$。次に$\tau(M)$ によって生成された理想です $\varepsilon_b(m)$ ために $b \in \mathcal B$ そして $m \in M$。

（表記の乱用により、 $\varepsilon_b(m)$ 適切に示されるべきもののために $\varepsilon_b(m,0)$。）

証明。以来$\varepsilon_b|_M$ 準同型です $M \to R$、私たちは明らかに持っています $\varepsilon_b(m) \in \tau(M)$ すべてのために $b \in \mathcal B$ そしてすべて $m \in M$。それらが生成することを示さなければなりません。の定義では$\tau(M)$、交換する場合があります $\operatorname{Hom}(M,R)$ 沿って $R^{\mathcal B} = \operatorname{Hom}(F,R) \twoheadrightarrow \operatorname{Hom}(M,R)$。要素は次のように書くことができます$f = (f_b)_{b \in \mathcal B}$、 どこ $f_b = f(b)$定数です。今のアイデアは$f(m)$ の座標のみに依存します $f$ どこ $m$ サポートされています：

しましょう $f = (f_b)_{b \in \mathcal B} \in R^{\mathcal B}$ そして $m = \sum_{b \in \mathcal B'} a_b b \in M$ いくつかの有限サブセットの場合 $\mathcal B' \subseteq \mathcal B$。書く$f_{\mathcal B'}$ その関数のために $\mathcal B'$-座標は同意します $f$そしてその他の座標は消えます。次に$$f(m) = \sum_{b \in \mathcal B'} f(a_b b) = \sum_{b \in \mathcal B'} f_b \cdot a_b = \sum_{b \in \mathcal B'} f_b \cdot \varepsilon_b(m),$$ そう $f(m)$ の組み合わせとして表されます $\varepsilon_b(m)$。 $\square$

当然のことです。 しましょう$M$ 射影する $R$-モジュール、そして $R \to S$環準同型である。次に $$\tau\left(M \underset R\otimes S\right) = \tau(M)S.$$

証明。書く$M \oplus N \cong F$ いくつかのための $R$-モジュール $N$ と無料 $R$-モジュール $F$。次に$$\left(M \underset R\otimes S\right) \oplus \left(N \underset R\otimes S\right) \cong F \underset R\otimes S.$$ 場合 $F$ 根拠がある $\mathcal B$、次に要素 $b \otimes 1$ の基礎を形成する $F \otimes_R S$。また、$M \otimes_R S$ フォームの要素によって生成されます $m \otimes 1$。したがって、$\tau(M \otimes_R S)$ によって生成された理想です $\varepsilon_{b \otimes 1}(m \otimes 1)$、これは $\tau(M)S$。 $\square$