しましょう $\alpha$ のルートになる $(x^2-a)$ そして $\beta$ のルートになる $(x^2-b)$。以上の条件を提供します $a$ そして $b$ 持つため $F=K(\alpha+\beta)$。
質問:しましょう$K$ 2とは異なる標数のフィールドになります。 $F$ の分解体になる $(x^2-a)(x^2-b)\in K[x]$。しましょう$\alpha$ のルートになる $(x^2-a)$ そして $\beta$ のルートになる $(x^2-b)$。以上の条件を提供します$a$ そして $b$ 持つため $F=K(\alpha+\beta)$。
私の試み:
しましょう $\alpha=\sqrt{a}$、 $\beta=\sqrt{b}$ そして $\gamma=\alpha+\beta$。まず第一に、私たちは持っています$F=K(\alpha, \beta)$分解体の定義による。定義$K(\alpha+\beta)=K(\gamma)$。
それを見せましょう $K(\alpha, \beta)\subset K(\gamma)$:
- から $\gamma=\alpha+\beta$ それに続く \begin{align*} \gamma^2&=(\alpha+\beta)^2\\ &=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2\\ &=(\sqrt{a})^2+2\sqrt{a}\sqrt{b} +(\sqrt{b})^2\\ &=(a+b)+2\sqrt{a}\sqrt{b}\qquad (*)\\ \end{align*}
- 今、私たちはそれを示すつもりです $\sqrt{b}\in K(\gamma)$
確かに、両側を乗算します $(*)$ 沿って $\sqrt{b}$ 我々は持っています:
$\gamma^2\sqrt{b}=(a+b)\sqrt{b}+2\sqrt{a}(\sqrt{b})^2$。次に$$\sqrt{b}=\frac{2b\sqrt{a}+(a+b)\sqrt{b}}{\gamma^2}\in K(\gamma)$$
- 同様に、 $\sqrt{a}\in K(\gamma)$、 これは
$\gamma^2\sqrt{a}=(a+b)\sqrt{a}+2(\sqrt{a})^2\sqrt{b}$、その後
$$\sqrt{a}=\frac{(a+b)\sqrt{a}+2a\sqrt{b}}{\gamma^2}\in K(\gamma)$$
私の疑問:条件はないと思います$a$ そして $b$ そのような $\alpha=\sqrt{a}$ そして $\beta=\sqrt{b}$、しかし、私にはわかりません。そして、私はこれを仮説と結び付ける方法がわかりません$K$2つの特徴が異なります。手伝ってくれませんか。
回答
あなたがそれを知ったら $[ K( \alpha,\beta ) : K ]=4$、根拠あり $\{1,\alpha,\beta,\alpha\beta\}$、次のように進めることができます。 $$ \begin{pmatrix} 1 \\ \gamma \\ \gamma^2 \\ \gamma^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ a+b & 0 & 0 & 2 \\ 0 & a+3b & 3a+b & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \\ \beta \\ \alpha\beta \end{pmatrix} $$ 行列式には行列式があります $4(b-a)$ 可逆の場合も同様です $a\ne b$ の特徴から $K$ ではありません $2$。したがって、$\{1,\gamma,\gamma^2,\gamma^3\}$ も基底であるため、同じ空間を生成します。つまり、 $K( \alpha,\beta ) = K(\gamma)=K( \alpha + \beta )$。
結論:主な条件は $[ K( \alpha,\beta ) : K ]=4$、または同等に、 $\beta \not\in K( \alpha)$。
このアプローチは、特性では機能しません $2$ なぜなら $[K(\gamma):K]\le 2$ 以来 $\gamma^2 = a+b \in K$。
私たちは $x^2-a,x^2-b$ 既約です $K$ そして $b\ne a$、そうでなければ問題は些細なことなので。
場合 $\sqrt{b}\not \in K(\sqrt{a})$次にそれを示す$\sqrt{a}+\sqrt{b}$4つの異なるコンジュゲートがあります(ここで使用します$char(K)\ne 2$)これは、 $[K(\sqrt{a}+\sqrt{b}):K] = 4$。
場合 $\sqrt{b}=u+v\sqrt{a} \in K(\sqrt{a})$ その後 $v\ne 0$ そう $(u+v\sqrt{a})^2\in K$ 意味する $u=0$。以来$b\ne a$ その後 $v\ne \pm 1$ それゆえ $K(\sqrt{a}+\sqrt{b})= K((v+1)\sqrt{a})=K(\sqrt{a})$。