しましょう $E = \{ 1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots\}$。内部、累積、孤立、境界点のセットを決定します
うまくいけば、この質問はこのフォーラムに適切です。そうでない場合は私に知らせてください。解決策の正当化（証明）が正しいかどうか知りたいのですが。
しましょう $E = \{1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots\}$。また$\sup E = 1$ と $1 \in E$ そして $\inf E = 0$ そう $E \subset (0,1]$。
Eの内部点のセット： $c > 0, c \in \mathbb{R}$。いずれかを取る$x \in E$。間隔を考慮してください$(x-c,x+c)$ その間隔には有理数と無理数が含まれているため、 $(x-c,x+c) \not\subset E$ したがって、xはEの内部点ではありません。したがって、Eの内部点はなく、Eの内部点のセットは空のセットです。 $\phi$。
Eの集積点のセット：すべてに対して $c > 0, c \in \mathbb{R}$、いずれかを取る $x \in (0,1]$。間隔を考慮してください$(x-c,x+c)$ その間隔には有理数と無理数が含まれているため、 $E \subset \mathbb{Q}$ その後 $(x-c,x+c)\cap E$ Eの点が無限に含まれています。したがって、Eの累積点のセットは（0,1]です。
Eの孤立点のセット： $c > 0, c \in \mathbb{R}$。いずれかを取る$x \in E$。間隔を考慮してください$(x-c,x+c)$ その間隔には有理数と無理数が含まれているため、 $(x-c,x+c) \cap E \subset E \neq \{ x \}$ したがって、xはEの孤立点ではありません。したがって、Eに孤立点はなく、Eの孤立点のセットは空集合です。 $\phi$。
Eの境界点のセット：すべてに対して $c > 0, c \in \mathbb{R}$ その後、すべての間隔 $(0-c,0+c)$ Eの外側に少なくとも1つのポイントがあり、Eの内側に少なくとも1つのポイントがあります。また、すべての間隔 $(1-c,1+c)$ Eの外側に少なくとも1つのポイントがあり、Eの内側に少なくとも1つのポイントがあります。 $x \in E$ すべての間隔ではありません $(x-c,x+c)$ Eの外側に少なくとも1つの点があり、Eの内側に少なくとも1つの点があります。したがって、Eの境界点のセットは{0,1}です。
注：内部、累積、分離、および境界点の定義のリファレンスは、B。Thomson、JBBruckerおよびAMBruckner、Sec。による「ElementaryRealAnalysis」です。4.2、p。165。
コメントありがとうございます。
回答
それを言うのは正しいです $(x - c, x + c)$ 有理数と無理数の両方が含まれており、それを言うのは正しいです $E \subseteq \mathbb{Q}$; しかし、それを言うのは正しくありません$(x - c, x + c)$ の一部のメンバーが含まれています $E$結果として。簡単な例として、$x = 3/4$ そして $c = 1/8$; 間隔$(5/8,7/8)$ のメンバーは含まれていません $E$。重要なのは、$E$ にあります $\mathbb{Q}$ のメンバーが $\mathbb{Q}$ に $(x - c, x + c)$ たまたま同じものです $E$！
このエラーは、2、3、および4の回答に影響します。修正を開始するために、＃2に関する提案を示します。
しましょう $1/2 < x < 1$。間隔$(1/2, 1)$ を含む開区間です $x$ のメンバーは含まれていません $E$ （のすべてのメンバーが $E$ 以外 $1$ そして $1/2$ 未満 $1/2$）、 そう $x$ の集積点ではありません $E$。
今のところ、この考え方をより一般的に適用するのはあなたに任せます。