しましょう $x_0$ 超越数であること、 $x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_n^2+3x_n-2}$。の限界は何ですか $x_n$？

Question

しましょう $x_0$ 超越数であること、 $$x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_{n}^{2}+3x_{n}-2}$$ の限界は何ですか $x_{n}$？

選択 $x_0=\pi$、そしての限界のようです $x_n$ です $-1$。しかし、これの証拠は何ですか$\pi$と他の番号？しましょう$$f(x)=\frac{3-x}{x^{2}+3x-2}$$ 以下が役立つ場合があります。 $$f'(x)=\frac{(x-7)(x+1)}{(x^{2}+3x-2)^2}$$ $$f(x)-x=\frac{-(x-1)(x+1)(x+3)}{x^{2}+3x-2}$$ $$f(x)+1=\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x-2}$$。

Answer 1

しましょう $f(x) = \frac{3-x}{x^2+3x-2}$。場合$\lim x_n$ 存在する場合 $L = \lim x_{n+1}=\lim x_n$、そう設定 $$L=f(L)$$

これには3つの解決策があります。 $L = -3, -1, 1$。正しいものを見つけるために、周りの小さな近所のために注意してください$-3$、 あなたが持っている $|f(x)+3|>|x+3|$、およびその周辺 $1$、 あなたが持っている $|f(x)-1|>|x-1|$。両方のための$-3$ そして $1$、違いはさらに大きくなります。周り$-1$ 一方、あなたは持っています $|f(x)+1|<|x+1|$、そのため、違いは小さくなっています（これは厳密な証明ではありませんが、より直感的な証明です）。

したがって、「ほとんど」の場合 $x_0$、に収束します $-1$。それが収束する唯一の方法$-3$ または $1$有限の反復回数で正確に収束するかどうかです。しかし、それが真実であるためには、それは解決策でなければなりません$$f^n(x_0) = -3$$ （または $1$） いくつかのための $n$、それは代数的でなければならないことを意味します。したがって、すべての超越数について、制限は次のようになります$-1$。