しますか $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} e^{-\alpha x}dx$ 一様に収束しますか？

Question

しますか $$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} e^{-\alpha x}dx \hspace{0.1cm}, \alpha \in ]0,\infty[$$ 一様に収束しますか？

ディリクレ検定の使用：

1. $\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx = \pi/2$
2. $e^{-\alpha x}$ 減少し、制限され、 $0$。

したがって、均一に収束します。

これでいい？それとも、一様に収束するだけですか？$]k,\infty[$ と $k>0$ ？

Answer 1

ディリクレ検定を使用するためのヒント：

我々は持っています $\int_0^c \sin x \, dx$ すべてに有界 $c > 0$ とは独立 $\alpha$ そして $\frac{e^{-\alpha x}}{x}$ で単調に減少しています $x$そして一様に収束する$0$ なので $x \to \infty$ すべてのために $\alpha \in [0,\infty)$。