しますか $\sum_1^\infty\frac{(n!)^2+(2n)^n}{n^{2n}}$収束しますか？（スターリングの近似なし）

Question

この質問はずっと前にここで再び尋ねられましたが、その唯一の答えはスターリングの近似についてのヒントを与えるだけです。

収束を研究しようとしています $\sum_1^\infty\frac{(n!)^2+(2n)^n}{n^{2n}}$、ただしスターリングの近似はありません。

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運が悪かったので、コーシーの凝縮テストを試しました。Wolframalphaはルートテストを提案します

制限は次のとおりです。

$ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{(n!)^2+(2n)^n}{n^{2n}}}$

ここでも、Wolframは制限を次のように計算します。 $e^{-2}$

したがって、どういうわけか $ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{(n!)^2+(2n)^n}{n^{2n}}} = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac2{n}\right)^n$

しかし、それを証明する方法がわかりません。

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この質問をこの制限の計算だけに限定したくはありません。スターリングの近似を含まない回答は大歓迎です。

ありがとう

Answer 1

ご了承ください$$\require{cancel}\frac{\frac{(n+1)!^2}{(n+1)^{2(n+1)}}}{\frac{n!^2}{n^{2n}}}=\cancel{(n+1)^2}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n}\frac1{\cancel{(n+1)^2}}\to\frac1{e^2}$$そしてそれ$$\frac{\frac{(2(n+1))^{n+1}}{(n+1)^{2(n+1)}}}{\frac{(2n)^n}{n^{2n}}}=2(n+1)\left(\frac{n+1}n\right)^n\left(\frac n{n+1}\right)^{2n}\frac1{(n+1)^2}=\frac2{n+1}\left(\frac n{n+1}\right)^n\to0.$$だから、両方のシリーズ$$\sum_{n=1}^\infty\frac{n!^2}{n^{2n}}\text{ and }\sum_{n=1}^\infty\frac{(2n)^n}{n^{2n}}$$収束するため、それらの合計も収束します。

Answer 2

このシリーズの収束は非常に簡単です。最初に注意してください$\sum \frac {(2n)^{n}} {n^{2n}}$ それはによって支配されているので収束しています $\frac {2^{n}} {3^{n}}$最初の2つの用語を省略した場合。今、という事実を使用してください$n! < (1)(2)(n^{n-2})$ にとって $n \geq 3$。終わりますか？

Answer 3

最終的には、この結果を使用して

$$(n!)^2\ge \left(\frac{n^2}{e^2}\right)^n\ge(2n)^n$$

したがって、

$$\frac{(n!)^2+(2n)^n}{n^{2n}}\le \frac{2(n!)^2}{n^{2n}}=2\frac{n!}{n^{n}}\frac{n!}{n^{n}} \le \frac2{n^2}$$

以来

$$\frac{n!}{n^{n}}=\frac{1\cdot 2\cdots n}{n\cdot n\cdots n} \le \frac{1}{n}\cdot 1\cdot 1\cdots 1 = \frac{1}{n}$$