親和的に（独立した）ベクトルはどのように $\mathbb R^n$ 空間に配置？

Question

ベクトルの有限集合を考えてみましょう $\{v_i\}_i\subset\mathbb R^n$。

このセットは、次の場合に線形独立です。 $\sum_k \alpha_k v_k=0$ 意味する $\alpha_k=0$。幾何学的には、線形依存性は、ベクトルのセットが原点を通過する超平面に含まれていることを示すものとして理解しています。

一方、私たちはそれを言います $\{v_i\}_i$次の場合、親密に依存しています$\sum_k \alpha_k v_k=0$ にとって $\alpha_k$すべてではないがゼロとなるよう$\sum_k\alpha_k=0$。セット時に視覚化する同様の幾何学的直感はありますか$\{v_i\}_i$ アフィン依存/独立ですか？

Answer 1

線形（非）依存性の特性は完全に正しくありません。ベクトルのすべてのセットは、原点、つまりそのスパンを通るある種の超平面に含まれています。

代わりに、ベクトルの有限集合は、それらが原点を通る超平面にあり、その次元が集合内のベクトルの数よりも少ない場合、線形従属であると言えます。

同様に、有限の点のセットは $\mathbb R^n$次元がセット内の点の数から1を引いた数よりも小さい超平面にある場合、は親和的に依存します。したがって、線上の3つの異なる点はアフィンに依存していますが、線上の2つの異なる点はアフィンに独立しています。

アフィン独立の別の素晴らしい幾何学的画像があります：

• 線分のエンドポイントセットである場合、ポイントのペアは密接に独立しています（これは、そのペアの2つのポイントが等しくない場合にのみ発生します）
• 三角形の頂点セットである場合、点のトリプルは密接に独立しています。
• 四面体の頂点セットである場合、4つの点は親和的に独立しています。
• a $k$-点のタプルは、の頂点セットである場合、密接に独立しています。 $k-1$次元シンプレックス。

Answer 2

@ runway44が言うように、affinely-dependentは「それらはすべて超平面にある」ことを意味しますが、おそらく原点を含まない超平面です。これをすばやく確認するには、$k+1$ ベクトル $$ v_0, v_1 \ldots, v_k $$ と $$ \sum a_i v_i = 0, \sum a_i = 1 $$ と減算 $v_0$ それぞれから $v_1, \ldots, v_k$ 取得するため $w_1, \ldots, w_k$。

次に、ベクトル $w_k$すべてが原点を通る平行な超平面上にあります。（これを自分で確立するために代数を実行する価値があります）。

または、それをより古典的な形にすると、 $v_0$ 新しい座標系の原点として、次に残り $v_i$ ベクトルはすべて超平面にあります。