シリーズです $\sum_\limits{n=1}^\infty\frac{n}{n^3+1}$収束または発散？[複製]

Question

シリーズです $$\sum_\limits{n=1}^\infty\frac{n}{n^3+1}$$ 収束または発散？

私の答えは次のとおりです。それが正しいかどうか誰かに教えてもらえますか？

以来 $$0<\frac{n}{n^3+1}<\frac{1}{n^2}\;\;,\;\;\;\;\forall n\in\mathbb{N}$$ とシリーズ $$\sum_\limits{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$$ 収束している、

比較テストを適用することにより、シリーズが得られます $$\sum_\limits{n=1}^\infty\frac{n}{n^3+1}$$ 収束もしています。

Answer 1

はい、あなたの答えは正しいです。

シリーズのすべての用語が肯定的であり、シリーズのすべての用語が $\frac{1}{n^2}$ （ために $n\in\mathbb N$）。
以来$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$ は収束しており、シリーズ内のすべての項（したがって、シリーズのすべての部分和）は常にそのシリーズよりも小さいため、比較テストによって、次のように結論付けることができます。 $\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n^3+1}$ 収束もします。

Answer 2

そのような状況でいくつかの簡単な方法も追加しましょう：ポジティブな一般メンバーとのシリーズがある場合 $a_n, b_n$ そして $a_n \sim b_n$ いつ $n \to \infty$、次に級数は同時に収束および発散します。あなたの場合$$\frac{n}{n^3+1} \sim \frac{1}{n^2}$$