システムを解く $3-(y+1)^2 = \sqrt{x-y}$、 $\;x+8y = \sqrt{x-y-9}$
これらの方程式を解く方法は？ $$\begin{cases} 3-(y+1)^2 = \sqrt{x-y}\\ x+8y = \sqrt{x-y-9} \end{cases}$$
置換法と除去法を使ってこれを解決しようとしましたが、成功しませんでした。私もこれらの方程式をプロットしてみました、そして私は得ました$x = 8$、 $y = -1$。
誰かがこれを解決するために必要な手順を教えてもらえますか？
前もって感謝します。
回答
推測とチェックは方程式を解く有効な方法です。平方根の定義域では、次のことが必要であることに注意してください。
$$x-y \geq 9$$
だからどうなるか $x-y = 9$ ？
$$\begin{cases}3-(y+1)^2 = 3 \\ x+8y = 0\end{cases}$$
ここから持っていってもらえますか？
最初の方程式もそれを義務付けていることに注意してください $-1-\sqrt{3} \leq y \leq -1+\sqrt{3}$平方根の結果は常に正である必要があるためです。これを使用して、他の解決策がないことを証明できますか？
以来 $x-y\geq9,$ 私達は手に入れました： $$3-(y+1)^2=\sqrt{x-y}\geq3,$$ これは $$y=-1,$$ $$x-y=9$$ そして $$x=8.$$ ここで、2番目の式がこれらの値に当てはまることを確認するだけで十分です。 $x$ そして $y$。
右側を観察すると、次のようになります。 $$(x+8y)^2 + 9 = (3 - (y+1)^2 )^2$$ $$(x+8y)^2 -(3 - (y+1)^2 )^2 = -9$$
そして今、2つの正方形の差を使用しています： $$(x+8y+3-(y+1)^2)(x+8y-3 + (y+1)^2 )= -9$$
クリーンな解決策がある場合 $x, y$が整数の場合、2つの角かっこはそれ自体が整数である必要があります。いくつかの可能性があります：それは次のとおりです。$$(\text{left}, \text{right}) = (-1, 9), (1, -9), (-3, 3), (3, -3), (-9, 1), (9, -1).$$
これらのソリューションの一部は、無関係であるか、整数以外のソリューションを持っています（ラジカルで表現できます）。ペアで$(3, -3)$、整数解が得られます $(x,y) = (1,8)$、そして今度はそれらを検証するために元の方程式に代入します。