証明における循環論法 $\lim_{x\to a}(\sin x) = \sin a$
イプシロンデルタの極限証明について学び始めたばかりですが、イプシロンデルタの極限の定義を使用して証明する方法を知りたいです。 $\lim_{x\to a}(\sin x) = \sin a$
試したが失敗したので、オンラインで調べたところ、IDを使用するのがコツであることがわかりました $\sin x < x$。このIDを使用しない証明は見つかりません。
私はこれまでこのアイデンティティを見たことがなかったので、その証明を検索し、平均値の定理を使用するこの証明を見つけました。繰り返しますが、私はまだ平均値の定理を学びませんでしたが、ウェブサイトによると、それは連続（そして微分可能）関数を必要とします$f$。
しかし、連続性の概念は、イプシロンデルタ限界の定義を使用して定義されています。実際、その事実$\sin(x)$ 継続的であるということは、まさに私が上で証明しようとしているステートメントです。 $\lim_{x\to a}(\sin x) = \sin a$
これは明らかに循環論法です。私の質問は、どうやってそれを逃れるのかということです。証明する方法がなければなりません$\lim_{x\to a}(\sin x) = \sin a$ アイデンティティなし $\sin x < x$、または証明する必要があります $\sin x < x$罪が継続しているという事実なしに。または私は3番目のオプションがあると思いますか？私はそれを行う方法についての答えを見つけることができません、それは私が最も奇妙だと思います...
回答
非常に分析的なアプローチは、積分から始めて定義することです $\log, \exp, \sin$ そして、これらがそれらのドメインでスムーズであり、したがって継続的であることを示します。
まず、自然対数を次のように定義します。 $$ \ln x := \int_1^x \frac{dt}{t} $$ この定義と積分規則を使用して対数法則を示すのは簡単です。 $\ln$ 微分可能です。
次に、指数関数をその逆関数として定義します。 $$ \exp := \ln^{-1} $$ 逆関数定理により、 $\exp$ 微分可能であり、したがって連続的です。
Maclaurin / Laurent級数の $\exp$ 収束半径が無限大なので $\exp$ から拡張することができます $\mathbb{R}$ すべてのスムーズな機能に $\mathbb{C}.$ したがって、関数を定義できます $\sin$ 沿って $$ \sin x := \frac{\exp(ix)-\exp(-ix)}{2i} $$ これもスムーズで連続的です。
これは三角関数公式で行うことができます。角度加法単位元に基づく$$\sin(x + \delta) = \sin(x) \cos(\delta) + \cos(x) \sin(\delta),$$ の連続性を証明するだけで十分です $\sin(x)$ そして $\cos(x)$ なので $x \to 0$。それだけでなく、$\sin(-x) = -\sin(x)$ そして $\cos(-x) = \cos(x)$、次のように正しい連続性を証明するだけで十分です。$x \to 0^+$。
また、次のプロパティを使用します $\sin(x)$ 増加しています $[0, \pi/2)$ そして $\cos(x)$ 同じ間隔で減少している、 $\sin(0) = 0$、 $\cos(0) = 1$、そしてそれ $\sin(\pi/4) = \cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2.$
だからあなたが私に値を与えるとしましょう $\epsilon > 0$、そしてあなたは私にの値を見つけてほしい $\delta > 0$ そのため $\sin([0, \delta)) \subseteq [0, \epsilon)$。なぜなら$\sin(x)$ 増加している、それは見つけるのに十分です $\delta$ そのため $\sin(\delta) < \epsilon$。から始まる$x = \pi/4$、半角IDを繰り返し使用できます $$\sin \left( \frac{x}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}} = \sqrt{1 - \cos^2(x)} \sqrt{\frac{1}{2(1 + \cos(x))}} = \sin(x) \sqrt{\frac{1}{2(1 + \cos(x))}}.$$
オン $[0, \pi/4]$、 $\sqrt{2}/2 \leq \cos(x) \leq 1$。以来$\sqrt{2}/2 > 7/18$、 我々は持っています $2(1 + \cos(x)) \geq 2(1 + 7/18) = 25/9$ この範囲では、これは
\begin{align*} \sin \left( \frac{x}{2} \right) &\leq \frac{3}{5} \sin(x), \\ \sin \left( \frac{x}{2^n} \right) &\leq \left( \frac{3}{5} \right)^n \sin(x), \ \end{align*}
のために $x \in [0, \pi/4]$。したがって、あなたが私に言うなら$\epsilon$、私は常にの値を見つけることができます $N$ そのため $\frac{\sqrt{2}}{2}\left( \frac{3}{5} \right)^N < \epsilon$、そして私の価値 $\delta$ です $\frac{\pi}{4*2^N} = \frac{\pi}{2^{N+2}}$。これはそれを証明します$\lim_{x \to 0^+} \sin(x) = 0$。
なぜなら $\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}$、それはまたそれに続く $$\lim_{x \to 0^+} \cos(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{1 - \sin^2(x)} = \sqrt{1 - 0^2} = 1,$$ そして、私たちは必要な権利を持っています-継続性 $\sin(x)$ そして $\cos(x)$ で $x = 0$。QED。
それを正当化するのは本当に簡単です $sin$ 取った後の定義でゼロで連続です $\delta = \varepsilon$。それを行うと、@ user2661923（上記）の投稿の式（5）により、$sin$ （それを使用して $cos$ 有界です）。
私は循環論法が関係しているというOPの論理に同意します。実は「微積分第2版」を使っていました。微積分を研究するためにアポストルによって。その本の中で、アポストルは最初に正弦関数と余弦関数の概念を公理的に紹介し、次の4つの公理を満たす関数を見つけたいと述べています。
（1）正弦関数と余弦関数は、実数直線上のあらゆる場所で定義されます。
（2）特別な値： $\cos 0 = \sin(\pi/2) = 1, \;cos \,\pi = -1.$
（3） $\cos(y - x) = \cos y \cos x + \sin y \sin x.$
（4） $0 < x < \pi/2$：
$\displaystyle 0 < \cos x < \frac{\sin x}{x} < \frac{1}{\cos x}.$
その後の使徒：
（a）正弦と余弦の伝統的な概念が、上記の公理を満たす限り、幾何学的に
実証された$\sin x, \,\cos x$ として解釈されます $\sin x$ ラジアン、 $\cos x$ ラジアン：ここで $2\pi$ ラジアン= $360^{\circ}.$
（b）
連続性、微分、積分、およびこれらの公理からの正弦および余弦のテイラー級数を含む、他のすべての三角関数の恒等式が示されました。
...................。
私がOPのクエリを正しく理解している場合、彼は、上記の公理（4）の利点なしに、正弦関数がどこでも連続であることを確立したいと考えています。
これが可能かどうかを判断するのは非常に困難です。上記の公理（4）を最終的に必要とする後続の結果を正確に決定することは非常に困難です。
おそらく本当の問題は-意図された解決策は何ですか？私はそれを刺します。私の試み（下記）では、正弦関数はで連続であると仮定しています$x = 0.$ OPが証明を求められていることに照らして、この仮定は不当であると容易に主張することができます。
私の知る限り、上記の公理（1）から（3）の結果の1つは、[つまり、ここでは使用されていない公理（4）]です。
（5） $\displaystyle \sin x - \sin a = 2 \sin\left(\frac{x - a}{2}\right) \times \cos\left(\frac{x + a}{2}\right).$
余弦関数は有界関数であるため[つまり、すべての $\theta, |\cos \theta| \leq 1|$]、
（5）は、$|\sin x - \sin a| \leq 2 \left|\sin\left(\frac{x - a}{2}\right)\right|.$
課題はそれをすべての人に示すことだと私には思えます $\epsilon > 0,$ が存在します $\delta > 0$ そのような
$0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |(\sin x) - (\sin a)| < \epsilon.$
選択 $\delta > 0$ そのため $\sin (\delta/2) < \epsilon/2.$
正弦関数はで連続であると想定されているため、 $x = 0,$これは、
（6）$|(x - a)| < \delta,$ その後 $|\sin\left(\frac{x - a}{2}\right)| < \sin (\delta/2) < \epsilon/2$
要求に応じ。
補遺
上記の私の試みを検討したところ、（私の知る限りでは）公理（1）から（3）の他の結果の1つ[すなわち公理（4）が再び使用されていない]を追加するのを忘れていることに気づきました。
$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1.$
この結果は、余弦関数がによって制限されるという仮定をサポートします。 $\pm 1.$
補遺-2
（6）に関する推論は実行可能ですが、ここでの私のプレゼンテーションも不注意でした。
正弦関数はで連続であると想定されているため $\theta = 0,$
周りに近所があります$(\theta = 0)$ そのような $\alpha$ この近所の内部はそれを意味します
$|\sin(\alpha/2)| < \sin(\delta/2).$
したがって、 $(x-a)$ この近隣にいるように制約する必要があります。