証明してください $_4F_3\left(\frac13,\frac13,\frac23,\frac23;1,\frac43,\frac43;1\right)=\frac{\Gamma \left(\frac13\right)^6}{36 \pi ^2}$

Aug 17 2020

私はMOの一般化超幾何系列について興味深い問題を見つけ、次のように述べています。

$$\, _4F_3\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3};1,\frac{4}{3},\frac{4}{3};1\right)=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(\frac13)_k (\frac23)_k}{(1)_k (\frac43)_k}\right)^2=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^6}{36 \pi ^2}$$

これは数値的には一致しますが、超幾何関数の基本プロパティ(循環和など)または古典的なガンマ式(ダガル式など)のいずれかを使用した証明は見つかりませんでした。私はそれがモジュラー形式と楕円形と関係があるに違いない$K$ 積分ですが、正確な関係はとらえどころのないままです。

このアイデンティティを証明する方法は?その動機は何でしょうか?それを証明する方法を使用して、高次超幾何級数の他のガンマ評価を生成できますか?どんな助けでもありがたいです。

回答

11 pisco Aug 31 2020 at 00:09

しましょう $S$ 与えられる $_4F_3$、次に(最初の平等は用語ごとの統合から生じる)、 $$\begin{aligned} S &= -\frac{1}{9}\int_0^1 t^{-2/3} (\log t) {_2F_1}(2/3,2/3;1;t)dt =-\frac{1}{9} \frac{d}{da} \left(\int_0^1 t^{-2/3+a} {_2F_1}(2/3,2/3;1;t)dt \right)_{a=0}\\ &= -\frac{1}{9}\frac{d}{da}\left(\frac{\, _3F_2\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},a+\frac{1}{3};1,a+\frac{4}{3};1\right)}{ a+1/3}\right)_{a=0} \end{aligned}$$

見やすい $A=\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{7}{6}\right)/\Gamma \left(\frac{5}{6}\right)^2$ の値です $_3F_2$$a=0$(ディクソン)。セットする$$\begin{aligned} &{d_{2/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3} + a,\frac{2}{3},\frac{1}{3};1,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \qquad {d_1} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};1 + a,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \\ &{d_{1/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3} + a;1,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \qquad {d_{4/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};1,\frac{4}{3} + a;1)} \right)_{a = 0}}\end{aligned}$$

多変数連鎖律により、 $$S = A -\frac{1}{3}(d_{1/3}+d_{4/3})\tag{*}$$


一般的に、 $_pF_q$パラメータに関しては手に負えません。それらをアドホックな方法でしか処理できません。私たちの状況では、それはよく知られています$_3F_2$$1$特定の変換を満たします。2つのジェネレーターがここの1番目と3番目のエントリです。これらの2つのエントリを使用して、次のようになります。$$\begin{aligned} & \quad _3F_2\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},a+\frac{1}{3};1,a+\frac{4}{3};1\right) \\ &= \frac{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}-a;1,\frac{4}{3};1\right)}{\Gamma \left(\frac{4}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right)} \\ &= \frac{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \, _3F_2\left(a+\frac{1}{3},a+\frac{2}{3},a+\frac{2}{3};a+1,a+\frac{4}{3};1\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{3}-a\right) \Gamma (a+1)} \\ &= \frac{\Gamma \left(-\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3};\frac{4}{3},a+1;1\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^2 \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right) \Gamma (a+1)}+\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right)^2} \end{aligned}$$

4つすべてについてそれを観察します $_3F_2$ 上記のように、彼らの議論はすべて $(2/3,2/3,1/3;1,4/3)$、唯一の違いは $a$さまざまな場所に表示されます。これは理由を明らかにします$(2/3,2/3,1/3;1,4/3)$ 特別です。

運用上の定義を導入する:書き込み $x\equiv y$ もし $x-y$は「ガンマ係数の線形結合」です。例えば、$x\equiv y$ もし $x-y = A$。今でデリバティブを取る$a=0$、 私達は手に入れました $$\tag{**}d_{1/3}+d_{4/3} \equiv -d_{2/3} \equiv d_{1/3}+2d_{2/3}+d_1+d_{4/3} \equiv -d_1$$ このシステムを解くと $$d_1 \equiv d_{2/3} \equiv d_{1/3}+d_{4/3} \equiv 0$$

したがって、 $d_{1/3}+d_{4/3}$ ガンマ関数で表現できるので、 $S$ による $(*)$

作るのは難しいことではありません $(**)$ 明示的: $$d_{1/3}+d_{4/3}=\left(3-\frac{\pi }{\sqrt{3}}\right) A-d_{2/3}=d_1+d_{1/3}+2 d_{2/3}+d_{4/3}+\frac{1}{6} A \left(\sqrt{3} \pi -9 \log (3)\right)=-d_1+\frac{1}{2} A \left(\pi \sqrt{3}-6+3 \log (3)\right)+\frac{3 \left(3 \sqrt{3}-2 \pi \right) \Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^2 \Gamma \left(\frac{7}{6}\right)^2}{\sqrt[3]{2} \pi ^2}$$

解くと $d_{1/3}+d_{4/3} = \dfrac{2 \sqrt{\pi } \left(27-4 \sqrt{3} \pi \right) \Gamma \left(\frac{13}{6}\right)}{21 \Gamma \left(\frac{5}{6}\right)^2}$。また、の値を取得します$d_1, d_{2/3}$ 副産物として。

3 GregMarkowsky Sep 01 2020 at 11:49

うわー、すごい!9年後に解決しました!これを掘り下げて、それを解決してくれてありがとう。これは一般的な形を与えることができますか

$$_4F_3(\frac1m,\frac1m,\frac2m,\frac2m;\frac{m+1}m,\frac{m+1}m,1;1)$$

私はおそらくこれにいくつかの動機を与える必要があります。次の論文では、通常の0から始まる平面ブラウン運動の予想終了時間を調べました。$m$-0を中心とするゴン:

https://projecteuclid.org/euclid.ecp/1465262013

それは(ポリゴンのサイズに依存する定数まで)です

$$_4F_3(\frac1m,\frac1m,\frac2m,\frac2m;\frac{m+1}m,\frac{m+1}m,1;1)\times \frac{m^2}{\beta(1/m,(m-2)/m)^2},$$

これは正確に舌から転がり落ちるわけではありません。ただし、正三角形の場合、これを計算するための別の方法があり、次のようになります。$1/6$。したがって、2つを等しくすることによってアイデンティティを取得します。それがアイデンティティです。さて、問題は、このメソッドを使用して、より良い式を取得できるかどうかです。$_4F_3$ 大きい場合 $m$?これは、通常のブラウン運動の予想終了時間のより良い表現になります。$m$-ゴン。

予想される終了時間は基本的にドメインのHardyH ^ 2ノルムであり、定数までであるため、これの純粋に分析的な(つまり確率的ではない)バージョンがここにあります。

https://arxiv.org/abs/1205.2458