証明する $\Bbb Z_n$はモジュロ加算下のグループです:結合部分。[複製]
Aug 19 2020
なぜですか $\Bbb Z_n =\{0,1,2,3,4,...,n-1\}$ モジュロ加算中のグループ?
連想部分のみが必要です。つまり、私はそれを証明するために立ち往生しています$a,b,c \in \Bbb Z_n$、 我々は持っています: $$(a + b \pmod{ n} + c) \pmod {n} = a + (b + c \pmod{n}) \pmod n.$$
または多分もっと明確に述べられています。と$+_n$ 「$+ \pmod{n}$": $(a +_n b) +_n c = a +_n ( b +_n c)$。
-ありがとう
回答
1 Shaun Aug 19 2020 at 14:09
の要素 $\Bbb Z_n$ある同値クラスの整数の、そのようには:
$$[a]_n:=\{b\in\Bbb Z:n\mid a-b\},$$
どこ $a\in \Bbb Z.$
加算は次のように定義されます。
$$[a]_n+_n[b]_n:=[a+b]_n.$$
これで、必要な結合性は、加算の結合性から次のようになります。 $[a]_n,[b]_n,[c]_n\in\Bbb Z_n$、 我々は持っています
$$\begin{align} [a]_n+_n([b]_n+_n[c]_n)&=[a]_n+_n[b+c]_n\\ &=[a+(b+c)]_n\\ &=[(a+b)+c]_n\\ &=[a+b]_n+_n[c]_n\\ &=([a]_n+_n[b]_n)+_n[c]_n. \end{align}$$