証明する $\epsilon - \delta$ そのスタイル $\lim\limits_{x \rightarrow 2}x^2 \neq 6$ 矛盾を介して

Question

質問：証明する$\epsilon - \delta$ そのスタイル $\lim\limits_{x \rightarrow 2}x^2 \neq 6$ 矛盾を介して

だから私の最初のアイデアは仮定することです $\lim\limits_{x \rightarrow 2} x^2 = 6$。その後、すべてのために$\epsilon > 0$ $\exists$ $\delta > 0$ そのような $|x^2-6| < \epsilon \rightarrow0 < |x-2| < \delta$

しかし、「プラグを差し込む」ことなく矛盾を示す方法がわかりません...誰かが私に見せてもらえますか？

Answer 1

しましょう $\varepsilon = 0.25 > 0 $

私たちはすべてのためにそれを持っています $\delta > 0$、私たちが取る場合 $\alpha = \text{min}\{0.1,\frac{\delta}{2} \}$、それから私たちはそれを持っています $2\alpha + \alpha^{2} \leq 0.2 + 0.01 = 0.21$

取ったら $x = 2 + \alpha$、私たちはそれを持っています $|2+ \alpha - 2| = \alpha < \delta$、 だが $|(2+ \alpha)^{2} - 6| = 6 - 4 - 2\alpha - \alpha^{2} \geq 2 - 0.21 > 1 > \varepsilon$。次に、制限の定義の矛盾です