州の拡張

Question

しましょう $X$ 局所コンパクトハウスドルフ空間であり、 $Y$ のコンパクト部分空間です $X$。しましょう$\phi$ の状態になります $C(Y)$。それでは、$\phi$ に $C_0(X)$？次の場合を想定します$T:f \mapsto f|_X$ からの準同型です $C_0(X)$ に $C(Y)$、それから地図は $\tilde{\phi}=\phi\circ T$ の状態になります $C_0(X)$？

Answer 1

さて、これは本当だと思います。私のコメントによると、この汎関数がノルム1を持っていることを確認する必要があります。$\lim_\lambda \tilde{\phi}(e_\lambda) = \|\tilde{\phi}\|$ 一部の（または任意の）近似単位 $(e_\lambda)$ ために $C_0(X)$。したがって、これを解決するために、近似単位を見つけましょう$(e_\lambda)$ これは $\lim_\lambda \tilde{\phi}(e_\lambda) = 1$。

C *-代数に関するウィキペディアの記事と同じように（https://en.wikipedia.org/wiki/C*-algebra#Commutative_C*-algebras）、おおよその単位があります $(f_K)$、コンパクトサブセットでインデックス付け $K \subseteq X$ そのために $f_K|K = 1$（コメント内のティーツの拡張/リンク）。この考えを念頭に置いて、ネットを構築することは難しくありません$(f_K)$、コンパクトサブセットでインデックス付け $K \subseteq X$ 含まれています $Y$、 そのような $f_K|_K = 1$。これは、必要な近似単位です。$$ \lim_K \tilde{\phi}(f_K) = \lim_K \phi \circ T(f_K) = \lim_K \phi(f_K|_Y) = \lim_K 1 = 1. $$