閉集合の非可算和集合の閉鎖は、内部が密集していますか?
Aug 21 2020
しましょう $\langle A_i\rangle_{i\in I}$、 $I$ 非可算、のサブセットのコレクションである $\mathbb{R}^d$ それぞれがその(空ではない)内部の閉鎖です。
セットの内部を推測できますか $A :=\mathrm{cl}(\bigcup_{i\in I}A_i)$ で密集しています $A$?言い換えれば、$A$ その内部の閉鎖?
(上記では、閉鎖 $\mathrm{cl}(B)$ セットの $B\subset\mathbb{R}^d$ のユークリッドトポロジーで取得されます $\mathbb{R}^d$。)
回答
2 Cronus Aug 21 2020 at 14:58
はい、その通りです。しましょう$a\in A$、シーケンスがあるように $a_n$ のポイントの $\bigcup A_i$ そのような $(a_n)$ アプローチ $a$ (なので $n$無限大になります)。それぞれ以来$A_i$ その内部の閉鎖であり、の内部以来 $A_i$ に含まれています $A$ すべてのための $i$、私たちは見つけることができます、すべてのために $n\in \Bbb{N}$、 点数 $(b_{n,m})_{m=1}^\infty$ せいぜい距離の $\frac{1}{m}$ から $a_n$。それは簡単にわかります$b_{n,n}$ アプローチ $a$ なので $n$ 無限大になるので $a$ の内部の閉鎖にあります $A$。他の包含は些細なことなので、$A$ その内部の閉鎖に等しい。