周波数領域での畳み込みのIDTFT

Question

私はすべてを試しました。これを解決する方法を実際に知っている場合は、ヒントを提供できますか？

$$ e^{-2j\Omega}\frac{ \sin\left( \frac{7\Omega}{2}\right)}{ \sin\left( \frac{\Omega}{2} \right)}\star \frac{\sin\left( \frac{10 \Omega}{2} \right)}{\sin\left( \frac{\Omega}{2} \right) }$$

理想的には、すべての「分数」のフーリエを別々に見つけて、プロパティを使用したいと思います。 $x(n - n_o) \rightarrow e^{-jn_0\Omega}X(\omega)$ だから私は気にしません $$ e^{-2j\Omega}$$ しかし、私には2つの問題があります。

1. 使えない $\displaystyle \frac{\sin\left(\left(n+\frac 12\right)\Omega\right)}{\sin\left(\frac \Omega 2\right)}$ ために $(n+1/2) = 10/2$ なぜなら $n \in Z$
2. DTFTでは、私の本では、たたみ込みを変換するための連続時間のようなプロパティはありません。 $\Omega$ 時間領域での乗算へのドメインなので、ここでも何をすべきかわかりません。

更新：
いくつかのコメントと答えた人々からの助けの後：私はjuchとしてそれをやろうとしています$\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}= \frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}e^{j\Omega(10-1)/2}=\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]e^{j9\Omega/2}$

私はプロパティを利用することになっています： $\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]e^{j9\Omega/2} \rightarrow 2\pi F^{-1}{\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]} * F^{-1}[e^{j9\Omega/2}]$
結果は次のとおりです。
$F^{-1}[e^{j9\Omega/2}] =$ $\frac{1}{2\pi}int_{\pi}^{\pi}e^{j9\Omega/2}e^{j\Omega n}d\Omega = \frac{1}{2\pi}\frac{e^{j\Omega(9/2 +n)}}{j(9/2+n)}\Big|_{-\pi}^{\pi}=\frac{4(-1)^n}{2\pi(n+9)}$ （ おもう）

そして $F^{-1}[e^{j9\Omega/2}]=1$ ために $n \in [0,9]$そして他のどこでも0。
次に、これら2の畳み込みを計算する必要があります。
結果は非ゼロである必要があります。$n \in [0,9]$ そう：
$F^{-1}\Big[\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}\Big]e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big] = \begin{cases} \frac{4(-1)^n}{(n+9)} & n \in [0,9] \\ 0 & else \end{cases}$

Answer 1

この演習は、DTFTの基本的なプロパティを組み合わせることを目的としているように思われます（ここにまとめられています：DTFTプロパティの表）。Mattは、製品/畳み込みのプロパティについて説明しました。また、タイムシフト/複雑な変調も得られます。私は（私は計算をしなかったと思った）要因の問題を疑っています$10$ 変数変換で取り組むことができます： $10\Omega = 5\times (2\Omega)$、および時間スケーリング（拡張）プロパティの使用（離散時間シーケンスの時間スケーリングとDTFTを参照）：

$$ S(c\Omega) \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x[n/c] \textrm{ if } n/c \textrm{ is an integer } \\ 0 \textrm{ otherwise.} \end{array} \right.$$

他のヒントはディリクレ核にかかっています：

$$D_N(x) =\frac{\sin\left(\left(N +1/2\right) x \right)}{\sin(x/2)}$$

それらはasincまたはpsinc（エイリアスまたは周期的なカーディナルサインまたはsinc）とも呼ばれ、有限サポートの離散ウィンドウに関連しています。場合$*$ が畳み込み記号である場合、解像度はフーリエの積/畳み込みプロパティを使用できます。

そして、より一般的には（ディリクレ核のページの下部にあります）、あなたはアイデンティティを持っています：

$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{jn\Omega} = e^{j(N-1)\Omega/2}\frac{\sin(N \, \Omega/2)}{\sin(\Omega/2)}\,,$$

これは離散時間ウィンドウのDTFTに関連しています $w_{[0,N-1]}$ （インデックスから $n=0$ に $n=N-1$）位相補正項を持つ正弦の比率。詳細は、ウィンドウ関数の離散時間フーリエ変換で確認できます。

Answer 2

また、離散時間では、一方の定義域での乗算ともう一方の定義域での畳み込みの間に対応関係があります。

$$x[n]y[n]\Longleftrightarrow \frac{1}{2\pi}X(e^{j\omega})\star Y(e^{j\omega})\tag{1}$$

ここで、周波数領域での畳み込みは次のように定義されます。

$$X(e^{j\omega})\star Y(e^{j\omega})=\int_{-\pi}^{\pi}X\big(e^{j\theta}\big)Y\big(e^{j(\omega-\theta)}\big)d\theta\tag{2}$$

DTFT

$$H_N(e^{j\omega})=\frac{\sin\left(\frac{N\omega} {2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)},\qquad N\textrm{ odd}\tag{3}$$

非常に単純な時間領域シーケンスに対応します。ここからもらえると思います。