双曲型方程式の規則性について

Aug 21 2020

私のPDEクラスでは、Evans PDEの本に従っており、双曲型方程式の弱解の規則性について読んでいました。より具体的には、証明定理5セクション7.2.3で説明しています。

\ begin {equation} \ frac {d} {dt}(\ | \ tilde {u} _m ^ {'} \ | _ {L ^ 2(U)} ^ 2 + A [\ tilde {u} _m、\ tilde {u} _m])\ leq C(\ | \ tilde {u} _m ^ {'} \ | _ {L ^ 2(U)} ^ 2 + A [\ tilde {u} _m、\ tilde {u } _m] + \ | f ^ {'} \ | _ {L ^ {2}(U)} ^ 2)\ end {equation}ここで、$\tilde{u}_m=u_m^{'}$、推定値\ begin {equation} \ | u_m \ | _ {H ^ 2(U)} ^ 2 \ leq C(\ | f \ | _ {L ^ 2(U)} ^ 2 + \ | u_m ^ {''} \ | _ {L ^ 2(U)} ^ 2 + \ | u_m \ | _ {L ^ 2(U)} ^ 2)\ end {equation} Evansは、この最後の不等式を最初に使用すると言いますグロンウォールの不等式を適用すると、\ begin {equation} \ sup_ {0 \ leq t \ leq T}(\ | u_m(t)\ | _ {H ^ 2(U)} ^ 2 + \ | u_m ^ {' }(t)\ | _ {H ^ 1(U)} ^ 2 + \ | u_m ^ {''}(t)\ | _ {L ^ 2(U)} ^ 2)\ leq C(\ | f \ | _ {H ^ 1(0、T; L ^ 2(U))} ^ 2 + \ | g \ | _ {H ^ 2(U)} ^ 2 + \ | h \ | _ {H ^ 1 (U)} ^ 2)\ end {equation}私の問題は、この最後の式がどのように取得されるのか理解できないことです。誰か助けてもらえますか?

編集:偏微分方程式の弱解の規則性について調べています\ begin {equation} \ begin {array} [rcl] fu_ {tt} + Lu&= f&\ text {in} U_ {T}、\\&u = 0&\ text {in} \ partial U \ times [0、T]、\\&u(0)= g&\ text {in} U \ times \ {t = 0 \} \\&u ^ {'}(0)= h& \ \\ {T = 0 \} \ U \回{における} \エンドテキストが{アレイ} \端{式}我々が知っている場合に$f\in L^2(0,T;L^(U))$$g\in H_0^1(U)$ そして $h\in L^2(U)$ この偏微分方程式には弱い解が存在します。規則性のために、 $f,g$ そして $h$ それぞれのスペースにあり、さらに $f^{'}\in L^2(0,T;L^2)$$g\in H^2(U)$ そして $h\in H_0^1(U)$。これが私の質問について明確になることを願っています。

回答

HansEngler Aug 21 2020 at 20:50

下付き文字を削除します $m$ これは、近似解を示すために使用されます。

最初の不等式(左側に時間微分がある)は、によって満たされる偏微分方程式を考慮することから生じます。 $\tilde u = u'$通常のエネルギー見積もりを適用します。ここでグロンウォールの引数を適用して、見積もりを取得します$$ \sup_t \left(\|\tilde u'(t)\|^2_{L^2} + A(\tilde u(t), \tilde u(t)) \right) \\ \quad \le C\left( \|\tilde u'(0)\|^2_{L^2} + A(\tilde u(0), \tilde u(0)) + \int_0^T \|f'\|^2_{L^2} \right) $$ あなたは偏微分方程式から読み上げます $\tilde u$$\tilde u(0)$ そして $\tilde u'(0)$でなければなりません。これは、$$ \sup_t \left(\| u_{tt}(t)\|_{L^2} + \| u_t(t)\|_{H^1} \right) $$ フォーム以来 $A$ (本質的に)強制的です。

2番目の不等式は、偏微分方程式自体と演算子の楕円規則性理論に基づいています。 $L$。書くだけ$Lu = -u_{tt} + f$ 次のような見積もりを使用します $$ \|u\|_{H^2} \le C(\|Lu\|_{L^2} + \|u\|_{L^2}) $$ それは確かに本の前の章に現れます。

あなたはすでにの見積もりを持っているので $\|u_{tt}\|_{L^2}$、これで目的の見積もりを導き出すことができます。の規範がどこにあるかを追跡するだけです$g$ そして $h$ 見積もりを入力します。