ソースがなくても時空を曲げることはできますか？[複製]
ソースがない場合のアインシュタイン方程式（つまり、 $T_{ab}=0$） $$R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}R=0$$ 解決策があります $$R_{ab}=0.$$
しかし、私は思います $R_{ab}=0$リーマン-クリストッフェル曲率テンソルのすべてのコンポーネントを意味するものではありません$R^c_{dab}$ゼロになる（またはそうする？）。このことから、ソースがなくても時空を曲げることができると結論付けることができますか？
回答
あなたが求めていることは、場の方程式の真空解と呼ばれます。これは、どこにも質量がないことを意味するのではなく、質量がない湾曲した時空の領域を検討していることを意味します。
たとえば、シュワルツシルト解は「真空解」です。これは、中心質量の外側の、問題はないが曲率がゼロではない領域を考慮しているためです。
リッチテンソルの成分の消失は、完全なリーマンテンソルの成分の消失を意味するものではないというのは正しいことです。$R_{\mu\nu}=0$ 真空解です、 ${R^\alpha}_{\beta\mu\nu}=0$ フラット時空です。
これは簡単な答えです：
私はこれを次の質問と同じ観点から見ます：
しますか
$$ {\bf \nabla \cdot E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} $$
電荷密度のない領域で電界がゼロであることを意味しますか？
答えは明らかに「いいえ」です。
そして例として：月の宇宙飛行士。彼らはかなり良い真空の中に羽とハンマーを落とし、測地線のように離陸しました。
あなたが正しいです。 $R_{ab}=0$ 意味しません $R^{a}_{bcd}=0$。一例を挙げると、$R_{ab}$ 10個のコンポーネントがあります（ $n=4$ 寸法）、一方 $R^{a}_{bcd}$ 持っている $20$コンポーネント。私が考えることができる最も簡単な例は、シュワルツシルト解法です。$R_{ab}=0$ どこでも $R^{a}_{bcd}\neq0$。宇宙定数を含めることを許可する場合、ド・ジッター計量は、自明でない時空曲率を持つ空の解の例です。ここで指摘したように
https://physics.stackexchange.com/a/105336/96768
重力波を含む時空は空ですが、自明ではないリーマンテンソルがあります。
そのとおり。しかし、それは曲率がどこからともなくあるという意味ではありません。フィールド方程式は、からのみの点での曲率を（局所的に）記述します。$T_{\mu \nu}$同じ点で（すべてが微分多様体に組み込まれており、各点の接空間は互いに関連していないため）。場合$T_{\mu \nu}$ ある点でがゼロの場合、真空解を導出することになります。