その値が実数(有限)であることを示すのと同等の制限が存在することを証明していますか?
私はタオ分析Iを研究しています。私の質問は、極限法を使用して結果を証明することから生じます。これは、提案7.2.14(c)の例です。
c)しましょう $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ 一連の実数であり、 $k\geq 0$整数である。2つのシリーズのいずれか$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ そして $\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$ が収束し、もう一方も収束し、次のアイデンティティがあります $$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n +\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$$
私の証明の試み: $S_N=\sum\limits_{n=m}^{N}a_n$ そして $T_N=\sum\limits_{n=m+k}^{N}a_n$、それから私たちは持っています $S_N=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n+T_N$ すべてのために $N\geq m+k$、(ステートメントは次の場合にも当てはまります $N<m+k$ と $T_N=0$ そして $S_N$ インデックスの後に冗長なゼロ項があります $N$ )、制限を $N\to \infty$、 我々は持っています $$\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N$$ $$=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N,$$ 有限和はに依存しないので $N$。
さて、 $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ に収束します $L$ 、その後 $\lim_{N\to\infty}S_N$ 存在し、等しい $L$、そして $\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}=M$、有限和は収束しているので、私の質問は、前の2つの結果を使用して次のように結論付けることができるかどうかです。 $\lim_{N\to\infty}T_N$ 存在し、等しい $L-M$。
または私はそれを証明する必要があります $S_N$ コーシー列であるのは、 $T_N$ですか?繰り返しますが、私は解決策や証明の検証を探していません。タイトルが言うように、私の質問は、その値が有限であるかどうかを示すことと同等の制限の存在を証明していますか?
より論理的な用語では、次のとおりです $equivalence$ ステートメントtrue:制限が存在します $\longleftrightarrow$ 限界値 $\in \mathbb{R}$。
はいの場合、制限が存在すると仮定できないのはなぜですか。次に、その値を計算してみてください。それが実際の場合は、たとえば評価時に存在すると結論付けます。 $\lim\limits_{n\to\infty}x^n$ と等しい $L$、その後 $xL=\lim\limits_{n\to\infty}x^{n+1}=L$ 、それから私たちは持っています $(x-1)L=0$。以来$x=1$ すべての本物のために $x$ ばかげている、私たちはそれを結論付けます $L=\lim\limits_{n\to\infty}x^n=0$ いつ $x\neq 1$。ただし、そもそも制限が存在しないため、上記の理由は誤りであることがわかっています。
回答
まず第一に、私は賛成しました。素晴らしい仕事、うまく示されています。
分析を改善する必要がある領域がいくつかあります。
(1)
あなたは表現すべきだった
$$ \sum_{n=m}^{\infty} a_n \text{ as } \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n + \sum_{n=m+k}^{\infty} a_n. $$
これはあなたが書いたものとは異なります。
(2)
ここでのアプローチ(私は好きです)を続け、上記の修正を
行って、RHSの最初の用語:$\sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$
は、固定数の項(したがって有限)の合計です。$m$ そして $k$ (私が思うに)固定数です。
したがって、あなたのアプローチを採用すると、私はそれを書いたでしょう
$S = \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$、と $S$ 独立したの$N$、
そして書かれた$T_N = \sum_{n=m+k}^{N} a_n. $
その後、表記を簡単にするために、私は書かれています:
レッツ$T = \lim_{N \to \infty} T_N.$
(3)
次に、問題は次のことを示すことになります。$T$ 次の場合に限り、(無限ではなく)有限です $(T + S)$ 有限です。
これが問題の要点であり、ここで直感を拡張したいと考えています。上記は、アサーションが$\epsilon, \delta$ クラスからの定義は無限の合計です。
これは、 $\sum_{n=m}^N a_n = S + T_N.$
ここから持っていってもらえますか?