それを示す $7^{(2n^2 + 2n)}$ に合同です $1 \bmod 60$

Question

試験を終えたばかりですが、次のタスクを解決できませんでした。

以下がすべてに当てはまることを示す $n \in \mathbb{N}$：

$7^{2(n^2 +n)} \equiv 1 \mod 60$

指数がの倍数であることを示してみました $\varphi(60) = 16$ その後、 $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n$しかし、それは間違っていると思います。少なくとも、それ以上はかかりませんでした。これを解決するためのヒントやコツはありますか？

Answer 1

はい、 $n^2+n=n(n+1)$ いつもそうです $2n^2+2n$ で割り切れる $4$、 そう $2n^2+2n=4k$ そして $7^{2n^2+2n}=(7^4)^k=2401^k \equiv 1 \mod 60$。

Answer 2

実際には、指数が常に次の乗数の倍数であることを示す必要があります。$7$ モジュロ $60$。この値は除算する必要があるため$\varphi(60) = 16$、それはの要因でなければなりません $16$。ドクター・フーの質問コメントは示して、あなたは簡単に決定し、乗法の順序があることを確認することができます$4$ 以来 $7$ そして $7^2 = 49$ 動作しませんが $7^4 = 2401 \equiv 1 \pmod{60}$動作します。次に、確認する必要があります$n^2 + n = n(n + 1)$ 常に均一であり、どちらかなので非常に簡単です。 $n$ または $n + 1$ すべてのためです $n$。