それを示す $dX_t=\frac{X_t}{1-t}dt+dW_t$ 次のように書くことができます $X_t=(1-t)\int_{0}^{t}\frac{1}{1-s}dW_s$
ブラウン橋の定義に関する次のリンクを読んでいて、次のステートメントに出くわしました（上のリンクの箇条書き9）。
仮定します $W_t$ 標準的なブラウン運動であり、定義する $X_1=1$、その後、 $h \in [0,1]$、 プロセス $X_t$ ブラウン橋です：
$$X_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\frac{1}{1-h}dW_h \tag{1}$$
私は上記のリンクに示されているこの声明の証拠を実際に理解することができ、その主張に問題はありません $X_t$上はブラウン橋です。ただし、作成者は次のように述べています。
「微分形式では、上記は次のように書くことができます：」
$$dX_t=\frac{X_t}{1-t}dt+dW_t \tag{2}$$
私は実際に微分形式を与えられた式（1）と結び付けることができません $X_t$。
「ロングハンド」表記で微分形式を書き直すと、（$X_0:=0$）：
$$X_t=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+\int_{h=0}^{h=t}dW_h=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+W_t$$
上記は明らかに以前の定義と同じではありません $X_t$式（1）で与えられます。スマートに定義された関数への伊藤の補題アプリケーションがあるかもしれないと思っています$F(X_t,t)$、私は理解することができませんでした（私はの亜種で遊んでみました $F(X_t,t):=X_te^t$、しかし役に立たない）。
微分方程式（2）を（1）に「解く」方法はありますか、それとも作者はタイプミスをしましたか？
編集：以下のコメントにリンクされている回答を読み、ここで別の質問への表記に関する私自身の回答の精神で、私は速記表記を使用してリンクされた回答を書き直そうとしました（いくつかの手順の解釈に苦労しているため）速記の答えの）：
私はまだ間違った答えを得ています。私がどこで間違っているのかを見つけるのを手伝ってくれませんか？。
リンクされたアワーの「トリック」は、伊藤の補題を関数に適用しているようです $F(W_t,t):=\frac{W_t}{1-t}$。派生物は次のとおりです。
$$\frac{\partial F}{\partial t}=\frac{-W_t}{(1-t)^2}, \frac{\partial F}{\partial W_t}=\frac{1}{1-t}, \frac{\partial^2 F}{\partial t^2}=0$$
私達はまたそれを持っています：
$$W_t=W_0+\int_{h=0}^{h=t}a(W_h,h)_{=0}dh+\int_{h=0}^{h=t}b(W_h,h)_{=1}dW_h$$ そのため：
$$\frac{W_t}{1-t}=\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial W}*a(W_h,h)_{=0}+\frac{\partial^2 F}{\partial W^2}_{=0}*b(W_h,h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\frac{\partial F}{\partial W}b(W_h,h)_{=1}dW_h=\\=\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{-W_h}{(1-h)^2}\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{1}{1-h}\right)dW_h$$
乗算する $1-t$ 次に与える：
$$W_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{-W_h}{(1-h)^2}\right)dh+X_t$$
したがって、次のようになります。
$$X_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{W_h}{(1-h)^2}\right)dh+W_t$$
用語に焦点を当てる $(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{W_h}{(1-h)^2}\right)dh$、 我々は書ける：
$$\int_{h=0}^{h=t}\left((1-t)\int_{s=0}^{s=h}\frac{1}{1-h}dW_s\right)\frac{1}{1-h}dh$$
上記の括弧内の用語、すなわち $\left((1-t)\int_{s=0}^{s=h}\frac{1}{1-h}dW_s\right)$実際にはないではないに等しいです$X_h$ （式（1）で定義されているように）、したがって実際にはそれはありません：
$$X_t=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+W_t$$
回答
しましょう $Y_{t} = \int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, dW_{s}$。次に見てみましょう
$$X_{t} = (1-t) \int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, dW_{s} = (1-t)Y_{t}$$
It ^ oの補題を使用して区別します
\begin{align*} dX_{t} &= -Y_{t}\, dt + (1-t)\, dY_{t} + d[ 1-t, Y_{t} ] \\ &= - Y_{t}\, dt + (1-t)\cdot \frac{1}{1-t}\, dW_{t} \\ &= -\frac{X_{t}}{1-t}\, dt + dW_{t} \end{align*}
そのため、確かにタイプミスがあります。
解決したい場合
$$dX_{t} = \frac{X_{t}}{1-t}\, dt + dW_{t},$$
次に（ODEのように）積分因子を使用します
$$\mu(t) = e^{-\int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, ds } = 1-t$$
SDEを解決する
\begin{align*} d \left (X_{t}(1-t) \right) = (1-t)\, dX_{t} - X_{t}\, dt =: (1-t)\, dW_{t} \end{align*}
解決のために
\begin{align*} X_{t} = \frac{1}{1-t}X_{0} + \frac{1}{1-t} \int_{0}^{t} (1-s)\, dW_{s}. \end{align*}
注意：SDEを解決するためにIt ^ oの補題を適用しないでください。これは、強力な解決策を認める場合にのみ機能します（Oksendal、第5章を参照）。