それを示す方法 $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ 上限はありますか？
私は漸化式によって与えられたシーケンスが $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ 収束している、 $a_1 = 1$。
帰納法を使用して、シーケンスが大幅に増加していることを証明することができました。
私は次のような定理を使用しています
シーケンスが単調で有界である場合、それは収束します。
したがって、私は今、上限が存在することを証明しなければなりません
私の試み
また誘導を使用します。
- にとって $n = 1: a_1 = 5 < M\in\mathbb{R}$
- にとって $n = k: a_k < M\in\mathbb{R}$
- にとって $n = k+1: a_{k+1} = \sqrt{12+4a_k} = 2\sqrt{3+a_k} < M \iff a_k < \frac{M^2}{2} -3 < \frac{M^2}{2} < M^2 $
私はそれを示しました $a_{k+1}$ それより少ない $M^2$ 一方、誘導ステップでは、私は次のように述べました $a_{k+1}$ よりも少ない $M$。正方形はちょっと私を混乱させます、そして私が本当にここで限界を証明したかどうかはわかりません、それで私はこの質問をします
回答
ご了承ください $a_{k+1}=2 \sqrt{3+a_{k}}<M \iff a_{k}<\frac{M^2}{4}-3$。その後、あなたはすることができます$M=\frac{M^2}{4}-3$ それは確かに与えます $M=6$ 解決策として。
この種の問題に取り組む方法は、通常、次のとおりです。
シーケンスが収束することをすでに証明していると想像してください...だから $\lim_{n\to\infty}a_n=a\in\mathbb R$。あなたは何が何であるかを見つけることに興味がありませんか$a$？それを行う方法は次のとおりです。方程式で$a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}$ 左側と右側の限界を計算するとき $n\to\infty$。あなたが得る：
$$a=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{12+4a_n}=\sqrt{12+\lim_{n\to\infty}a_n}=\sqrt{12+4a}$$
そう $a=\sqrt{12+4a}$ これは $a=6$。
だからあなたが証明したのは $a_n$ 収束する、それはに収束する必要があります $6$他の番号はありません。また、収束していることもわかっているので（そうでない場合は証明を求められないので！）、単調に増加していることを知っていると、すぐにわかります。$a_n\lt 6$、近づいています $6$ 「下から」、そして実際に $6=\sup\{a_n:n\in\mathbb N\}$。
したがって、この時点までに言ったことをすべて忘れて、それを証明しようとすることは、おそらく報われるでしょう。$a_n\lt 6$、これは、シーケンスが単調に増加し、制限されていることをすぐに意味します-したがって、収束します。
そして、確かに（帰納法による証明）、 $a_1=5\lt 6$ で、もし $a_n\lt 6$、その後 $a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}\lt\sqrt{12+4\cdot 6}=6$。
ヒント：帰納法によって次のことを証明する $a_n \leq 6$ すべてのために $n$。