それを示す ${{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$
質問:仮に$x $負でない整数です。定義する${{m}\choose {x}}=0$ もし $x>m $。しましょう$\{p_n\}$ シーケンスを満足させる $0 <p_n <1$ そして $\lim\limits_{n\to\infty} np_n=\lambda$。それを示す$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$
これは、ポアソン分布の公式の証明と同等ですか?ポアソン分布の公式のステートメントであるため、私はこれを求めています$np$ 一定ですが、ここでは $n\to\infty $ $np\to $一定の定数$=\lambda $。ポアソン分布式でも$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$ しかし、私たちは何かを証明する必要があります $n $制限はありません。では、問題の証明とポアソン分布式の証明は同じですか?
注:問題の式に制限はありません。私たちは証明しなければなりません$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$ ない $$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$
回答
$\boxed{\text{Hint}}$
$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\frac{(np_n)^x}{n^x}\frac{(1-np_n/n)^n}{(1-p_n)^x}$$
以来 $\lim_{n\rightarrow\infty}np_n=\lambda$、 我々が得る $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(1-np_n/n)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\lambda/n)^n=e^{-\lambda}}$$
$$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(np_n)^x=\lambda^x}$$ それを見せてみてください $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{(n-x)!n^x}=1\\\lim_{n\rightarrow\infty}(1-p_n)^x=1}$$
あなたが書いた極限は、ポアソン極限定理の正式な声明です。
あなたが以前に見たバージョンは、少し一般的な仮定がありません(それは強制します $np_n = \lambda$ すべてのために $n$、 のではなく $np_n \to \lambda$)。証明は非常に似ていますが、より一般的な主張のためにおそらく何か特別なことをしなければならないでしょう。
どちらのステートメントにも、次のような制限があります。 $n \to \infty$; 「私たちは何かを証明しなければならない」とはどういう意味かわかりません$n$ 制限はありません。」
固定用 $x$、$$\frac{\binom{n}{x}}{n^x/x!}=\prod_{i=0}^{x-1}(1-i/n)=\exp\sum_{i=0}^{x-1}\underbrace{\ln(1-i/n)}_{\sim-i/n}\approx\exp\frac{-x(x-1)}{2n}\stackrel{n\to\infty}{\to}1.$$なので $n\to\infty$、 $1-p_n\to1$ そう$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}\sim\frac{\left(\frac{np_n}{1-p_n}\right)^x(1-p_n)^n}{x!}\sim\frac{\lambda^x e^{-np_n}}{x!}\stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}.$$