それを証明する $ \sum_{k=0}^\infty\frac1{2k+1}{2k \choose k}^{-1}=\frac {2\pi}{3\sqrt{3}} $

Aug 22 2020

Mathematicaは興味深い合計を与えます: $$\sum_{k=0}^\infty\frac1{2k+1}{2k \choose k}^{-1}=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$$ 問題は、それを手作業で証明する方法です。

リマーク。この質問は自己回答です(OPが努力を提供したとき)。以下の回答を参照してください。

回答

5 user35508 Aug 22 2020 at 15:12

これが役立つかもしれないと思います。

$$\frac{1}{n \choose k}=(n+1)\int_0^1 x^k(1-x)^{n-k}dx.$$ これは、パーツによる統合によって簡単に取得できます。

パッティング $n=2k$ そして $x=\sin^2t$、 我々が得る $$\sum_{k\geq0}\int_0^{\frac{\pi}{2}}2\sin^{2k+1}t\cos^{2k+1}t \ dt.$$

積分内に合計を持ち込み、GPを評価すると $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin( 2t)}{1-\frac{\sin^2(2t)}{4}}dt.$$

パッティング $\cos(2t)=u$ 我々が得る、 $$2\int_{-1}^{1}\frac{du}{3+u^2},$$ これは確かに等しい $\dfrac{2\pi}{3\sqrt3}$

5 ZAhmed Aug 22 2020 at 16:54

二項係数の逆数の積分表現に注意してください。 $${n \choose j}^{-1}=(n+1)\int_{0}^{1} x^j (1-x)^{n-j}~ dx.$$ 次に $$S=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2k+1}{2k \choose k}^{-1}= \int_{0}^{1} \sum_{k=0}^{\infty} [x(1-x)]^{k}= \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2-x+1} dx $$ $$ \implies S = \frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1} \frac{2x-1}{\sqrt{3}}\Bigg|_{0}^{1}=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}.$$