それを証明する $x^2$ 一様に連続していない

Aug 19 2020

私達はことを知っています $f(x)=x^2$ 関数として一様に連続ではありません $f:\mathbb{R}\rightarrow[0,\infty)$。確かに、$\epsilon=1$。どんな人にも$\delta>0$、私たちは選ぶかもしれません $\alpha>0$ 十分に大きいので $\alpha\delta+\delta^2/4\geq \epsilon$。次に設定した場合$$x=\alpha$$ $$y=\alpha+\frac{\delta}{2}$$ 我々は気づく $|x-y|<\delta$、まだ $|f(x)-f(y)|\geq\epsilon$。従って$\epsilon-\delta$ 一様連続性の定義は否定され、 $f$ 一様に連続していません。

今なら $X\subset\mathbb{R}$ オープンな無制限のセットですが、それをどのように証明しますか $f:X\rightarrow [0,\infty)$一様に連続していませんか?上記と同様の手順で試してみましたが、うまくいきませんでした。私が抱えている問題は、それを確認できないことです$y=\alpha+\delta/2\in X$、なぜなら $X$ 次のように、より狭いオープン間隔を持つオープン無制限セットである可能性があります。 $x$ たとえば増加します $$X=\bigcup_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n},\sqrt{n}+\frac{1}{n}).$$

上記を前提として、上記の証明を変更する方法はありますか? $f:X\rightarrow [0,\infty)$場合?証明が与えられるだけでは興味がありませんが、証明がどのように変更されるのか、またはこの場合は変更できないのかを知りたいと思いました。

回答

4 StephenMontgomery-Smith Aug 19 2020 at 11:04

それは本当ではない。検討する$X = \bigcup_n (n,n+\tfrac1{n^2})$。次の場合に注意してください$x,y \in (n,n+\tfrac1{n^2})$、その後 $$ |f(x) - f(y)| \le |f(n+\tfrac1{n^2}) - f(n)| = \tfrac2n + \tfrac1{n^2} \le \tfrac3n .$$ 与えられた $\epsilon > 0$、選択 $N > \frac3\epsilon$。場合$x,y \in \bigcup_{n\ge N} (n,\frac1{n^2})$、および $|x-y| < \tfrac12$、その後 $|f(x) - f(y)| < \epsilon$。それ以来$f(x)$ に一様に連続している $[0,N+1]$、見つけることができます $\delta > 0$ そして $\delta < \tfrac12$ そのような場合 $x,y \in [0,N+1]$、その後 $|x-y| < \delta$ 意味する $|f(x) - f(y) < \epsilon$