Sqrtで位相因子を維持する

Question

正方形以上の根を含む特定の正則関数をプロットしようとしています。複雑な分析の意味では、関数$f:z\mapsto z^\alpha$ いくつかのための $\alpha\in\mathbb C$ 位相因子があります $e^{2\pi i\alpha}$ で $z=0$、これは、周りの小さな円形のパス上にあることを意味します $0$ 関数 $f$この要因を拾います。これをMathematicaで実装する方法はありますか？

例えば、

g[z_] = z^4;
Sqrt[g[Exp[Pi I/2]]]

結果として1を与えます。ここでMathematicaに位相を維持させたいです $g(e^{\pi i/2})=e^{2\pi i}$ 次に計算します $$\sqrt{g(e^{\pi i/2})}=e^{\pi i}=-1.$$とSqrtや$(\cdot)^{1/2}$彼らは主要な平方根を選ぶので、これは不可能のようです。助けてくれて本当にありがとうございます！

編集ここに例があります：

lim = 5; dlim = 20; 
f1[z_] = Sqrt[z^8];
f2[z_] = z^4;
p1 = ParametricPlot[{Re[f1[1 + d I]], Im[f1[1 + d I]]}, {d, -dlim, 
    dlim}, PlotRange -> {{-lim, lim}, {-lim, lim}}];
p2 = ParametricPlot[{Re[f2[ 1 + d I]], Im[f2[1 + d I]]}, {d, -dlim, 
    dlim}, PlotRange -> {{-lim, lim}, {-lim, lim}}];
GraphicsGrid[{{p1, p2}}]

明らかに機能f1とf2同じではありません、ちょうど$\sqrt{x^2}=|x|$ と等しくない $x$ オン $\mathbb R\ni x$。私の目的では、滑らかな関数につながる平方根の解像度にかなり興味があります。上記のプロットは次のようになります。

左の写真では、関数が平方根の分岐点と交差する点が示されています。手で平方根を解くことができずに、右の写真のようにそれを回避する方法があるかどうか疑問に思っています。たとえば、式をに追加すると$z^8$ 同様のフェーズが含まれているので、分岐カットの影響を受けないように、平方根から共通のフェーズを削除したいと思います。

上記の関数を変形して言うこともできます $f(z)=\sqrt{z^8+\varepsilon}$ いくつかのための $\varepsilon>0$。次に、ジェネリックの平方根を取る方法はありません$z$、および右の画像の変形をプロットすることはできません。私は、右の画像が継続的に変形するように、そうする方法を見つけることに興味があります。

私の実際の関心は、モジュラー関数EllipticThetaとの平方根にありDedekindEtaます。これは、位相を伴う特定の分数線形変換の下で変換されます。次に、次のような式を持つことが明確に定義されています。$\sqrt{\vartheta_4(z)^8+\varepsilon \vartheta_2(z)^4\vartheta_3(z)^4}$ 両方の被加数が同じフェーズで変換されるためです。

上記の問題はすべて、Mathematicaが各ステップでデカルト座標で複素数を表現するか、モジュロを法としてすべてを無視するという事実に起因します。 $2\pi$極形式で。すべての操作を再定義することなく、Mathematicaがこれを行わないようにする方法を見つけるのは素晴らしいことです。どうもありがとう！

Answer 1

これは、連続パスに沿って多値関数を分析的に継続するという一般的な問題の例です。

次のような代数関数の場合 $w=\sqrt{z^8}$、次のように書くことができます $f(z,w)=w^2-z^8=0$ そしてあなたの場合、 $z(t)=1+it$、 書く： $$ \frac{dw}{dt}=-\frac{f_z}{f_w}\frac{dz}{dt}=\frac{4i(1+it)^7}{w} $$ 次に、（複数値の）IVPを解きます。 $$ \frac{dw}{dt}=\frac{4i(1+i t)^7}{w};\quad \{w_0\}=\{f(z(t_0),w)=0\} $$ ここで、DEと初期値 $\{w_0\}$ にとって $t_0=-5$ 次のように設定されます：

tStart = -5;
tEnd = 5;
thez[t_] = 1 + t I;
theDE = w'[t] == ((4 I z^7)/w /. {z -> thez[t],
    w -> w[t]});
wStart = w /. Solve[w^2 == (1 + tStart I)^8, w]

次に、両方のIVPを解き、結果をプロットします。

colors = {Red, Blue};
plotTable = Table[
   dSol = 
    First[NDSolve[{theDE, w[-5] == wStart[[i]]}, 
      w, {t, tStart, tEnd}]];
   theSol[t_] := Evaluate[Flatten[w[t] /. dSol]];
   ParametricPlot[{Re[theSol[t]], Im[theSol[t]]}, {t, tStart, tEnd}, 
    PlotRange -> {{-5, 5}, {-5, 5}}, PlotStyle -> colors[[i]]],
   {i, 1, 2}];
Show[plotTable]