数体の分岐していない2次拡張の数

Question

数体の分岐していない二次拡張の数の一般式はありますか $K$？

いつ $K$ 二次であり、これは（属理論によって）次のように知られています $2^{\omega(\Delta_K)-1}$、 どこ $\omega(n)$ の異なる素因数の数を示します $n$ そして $\Delta_K$ の判別式です $K$。いつの結果に興味があります$K$ 程度が高いです。

この問題ははるかに難しい可能性があり、クラスグループの2つのねじれを理解することに隣接している可能性があります $\text{Cl}_K$（思われる硬いとき$K$二次式ではありません）が、私はこの地域にかなり慣れておらず、完全にオフベースである可能性があります。より直接的なアプローチの希望はありますか？

Answer 1

答えはノーのようです。

1. の分岐していない2次拡張の数 $K$ インデックスの数に等しい-理想的なクラスグループの2つのサブグループ $\text{Cl}_K$ 類体論による。
2. インデックス-2つのサブグループ $\text{Cl}_K$ の非ゼロ要素に対応します $\text{Hom}(\text{Cl}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$。
3. $\#\text{Hom}(\text{Cl}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = \#\text{Cl}_K[2]$ コメントで@RP_と@abxによって私に指摘されたように、ポントリャーギン双対性によって。
4. のサイズを計算する（または制限する）問題 $\#\text{Cl}_K[2]$ いつ $K$二次拡大ではないが、活発に研究されているようであり、一般的に困難な問題のようです。