すべての機能を検索 $f$ そのような $f(mn) = f(m)f(n)$ そして…

Question

すべての機能を検索 $f : N → N$ そのような

（a） $f(2) = 2$

（b） $f(mn) = f(m)f(n)$ すべてのために $m, n ∈ N$

（c） $f(m) < f(n)$ にとって $m < n$

まず、代用しました $m=1,n=2$ 取得するため $f(1)=1$。次に、私たちは簡単にすべての力が$2$自分と同じになります。あれは$f(4)=4,f(8)=8$、 等々。さて、次のステップが正しいかどうかはわかりません。なので$f(4)>f(3)>f(2)$、および $f : N → N$、 おもう $f(3)$ することができます $3$しかし、繰り返しになりますが、よくわかりません。もしそうなら、私は唯一の可能な機能は$f(x)=x$。

さて、問題の次の部分のために-

3番目の条件が与えられていない場合はどうなりますか？

残念ながら、解決策は言うまでもなく、問題に対する答えすらありません。どんなヒントも役に立ちます、ありがとう。

Answer 1

もっと簡単に ：

もし $f(1)=1$ そして $f(2^n)=2^n$、そしてあなたが持っているので $$1 =f(1) < f(2) < f(3) < f(4) < ... < f(2^n)=2^n$$

唯一の可能性はそれです $f(2)=2$、 $f(3)=3$、 $f(4)=4$ 等々。